Вторичные полиномы - Secondary polynomials

В математика, то вторичные полиномы ${displaystyle {q_{n}(x)}}$ связанный с последовательность ${displaystyle {p_{n}(x)}}$ из многочлены ортогональный по плотности ${displaystyle ho (x)}$ определены

${displaystyle q_{n}(x)=int _{mathbb {R} }!{frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}ho (t),dt.}$

Чтобы увидеть, что функции ${displaystyle q_{n}(x)}$ действительно многочлены, рассмотрим простой пример ${displaystyle p_{0}(x)=x^{3}.}$ Потом,

${displaystyle {egin{aligned}q_{0}(x)&{}=int _{mathbb {R} }!{frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}ho (t),dt&{}=int _{mathbb {R} }!{frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}ho (t),dt&{}=int _{mathbb {R} }!(t^{2}+tx+x^{2})ho (t),dt&{}=int _{mathbb {R} }!t^{2}ho (t),dt+xint _{mathbb {R} }!tho (t),dt+x^{2}int _{mathbb {R} }!ho (t),dtend{aligned}}}$

который является полиномом ${displaystyle x}$ при условии, что три интеграла в ${displaystyle t}$ (в моменты плотности ${displaystyle ho }$) сходятся.

Смотрите также

• Вторичная мера