Сепаратрикс (математика) - Separatrix (mathematics) - Wikipedia

В математика, а сепаратриса граница, разделяющая два режима поведения в дифференциальное уравнение.^[1]

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее движение простого маятник:

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

куда ${\displaystyle \ell }$ обозначает длину маятника, ${\displaystyle g}$ то гравитационное ускорение и ${\displaystyle \theta }$ угол между маятником и вертикально вниз. В этой системе есть сохраняющаяся величина H ( Гамильтониан ), который задается

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

Определив это, можно построить кривую постоянного ЧАС в фазовое пространство системы. Фазовое пространство - это граф с ${\displaystyle \theta }$ по горизонтальной оси и ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ по вертикальной оси - см. миниатюру справа. Тип результирующей кривой зависит от значения ЧАС.

Фазовое пространство для простого маятника

Если ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ то кривой не существует (потому что ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ должно быть воображаемый ).

Если ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$ тогда кривая будет простой замкнутой изгиб который является почти круглым при малых H и приобретает форму «глаза», когда H приближается к верхней границе. Эти кривые соответствуют периодическим колебаниям маятника из стороны в сторону.

Если ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$ тогда кривая открыта, и это соответствует тому, что маятник постоянно движется по полному кругу.

В этой системе сепаратриса кривая, соответствующая ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Он разделяет - отсюда и название - фазовое пространство на две отдельные области, каждая из которых имеет свой тип движения. Область внутри сепаратрисы имеет все те кривые фазового пространства, которые соответствуют колебаниям маятника вперед и назад, тогда как область за пределами сепаратрисы имеет все кривые фазового пространства, которые соответствуют маятнику, непрерывно вращающемуся через вертикальные плоские круги.

Рекомендации

1. Бланшар, Поль, Дифференциальные уравнения, 4-е изд., 2012, Брукс / Коул, Бостон, Массачусетс, стр. 469.

• Логан, Дж. Дэвид, Прикладная математика, 3-е изд., 2006 г., John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pg. 65.

внешняя ссылка

• Сепаратрикс из MathWorld.