Симплициальная сфера - Simplicial sphere - Wikipedia

В геометрия и комбинаторика, а симплициальный (или комбинаторный) d-сфера это симплициальный комплекс гомеоморфный к d-мерная сфера. Некоторые симплициальные сферы возникают как границы выпуклые многогранники однако в более высоких измерениях большинство симплициальных сфер не может быть получено таким способом.

Одной из важных открытых проблем в этой области была g-гипотеза, сформулированный Питер МакМаллен, который спрашивает о возможном количестве граней разных размеров симплициальной сферы. В декабре 2018 г. g-гипотеза была доказана Карим Адипрасито в более общем контексте сфер рациональных гомологий.^[1][2]

Примеры

• Для любого п ≥ 3, просто п-цикл C_п это симплициальный круг, т.е. симплициальная сфера размерности 1. Эта конструкция дает все симплициальные окружности.
• Граница выпуклой многогранник в р³ с треугольными гранями, такими как октаэдр или икосаэдр, является симплициальной 2-сферой.
• В более общем смысле, граница любого (d+1) -мерный компактный (или ограниченный ) симплициальный выпуклый многогранник в Евклидово пространство симплициальный d-сфера.

Свойства

Это следует из Формула Эйлера что любая симплициальная 2-сфера с п вершин 3п - 6 граней и 2п - 4 лица. Случай п = 4 реализуется тетраэдром. Повторно выполняя барицентрическое подразделение, легко построить симплициальную сферу для любого п ≥ 4. Кроме того, Эрнст Стейниц дал характеристика 1-скелета (или реберные графы) выпуклых многогранников в р³ откуда следует, что любая симплициальная 2-сфера является границей выпуклого многогранника.

Бранко Грюнбаум построил пример неполигопальной симплициальной сферы (то есть симплициальной сферы, не являющейся границей многогранника). Гил Калаи доказал, что на самом деле «большинство» симплициальных сфер неполигопны. Самый маленький пример имеет размер d = 4 и имеет ж₀ = 8 вершин.

В теорема о верхней оценке дает верхние оценки для чисел ж_я из я-лицы любых симплициальных d-сфера с ж₀ = п вершины. Эта гипотеза была доказана для многогранных сфер Питер МакМаллен в 1970 году^[3] и по Ричард Стэнли для общих симплициальных сфер в 1975 г.

В г-гипотеза, сформулированная Макмалленом в 1970 г., требует полной характеристики ж-векторы симплициальных d-сферы. Другими словами, каковы возможные последовательности чисел граней каждого измерения для симплициального d-сфера? В случае многогранных сфер ответ дает г-теорема, доказано в 1979 году Биллера и Ли (существование) и Стэнли (необходимость). Было высказано предположение, что те же условия необходимы для общих симплициальных сфер. Гипотеза была доказана Карим Адипрасито в декабре 2018 г.^[1][2]

Смотрите также

• Уравнения Дена – Соммервилля

использованная литература

1. Адипрасито, Карим. «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv:1812.10454.
2. Калаи, Гил (2018-12-25). «Удивительно: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!». Комбинаторика и не только. Получено 2018-12-25.
3. МакМаллен, П. О гипотезе о верхней границе для выпуклых многогранников. Журнал комбинаторной теории, серия B 10 1971 187–200.

• Ричард Стэнли, Комбинаторика и коммутативная алгебра. Второе издание. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x + 164 с. ISBN  0-8176-3836-9