Пространственно-временной блочный код - Space–time block code

Эта статья посвящена когерентным пространственно-временным блочным кодам (STBC). Для дифференциальных пространственно-временных блочных кодов см. Дифференциальный пространственно-временной код.

Пространственно-временное блочное кодирование это техника, используемая в беспроводная связь для передачи нескольких копий потока данных через несколько антенны и использовать различные полученные версии данных для повышения надежности передачи данных. Тот факт, что передаваемый сигнал должен проходить через потенциально трудную среду с рассеяние, отражение, преломление и так далее, а затем могут быть повреждены тепловой шум в приемник означает, что некоторые из полученных копий данных могут быть ближе к исходному сигналу, чем другие. Эта избыточность приводит к более высокой вероятности использования одной или нескольких полученных копий для правильного декодирования принятого сигнала. Фактически, пространственно-временное кодирование сочетает все копии принятого сигнала оптимальным образом, чтобы извлечь как можно больше информации из каждой из них.

Вступление

Большая часть работ по беспроводной связи до начала 1990-х годов была сосредоточена на наличии антенной решетки только на одном конце беспроводной связи - обычно на приемнике.^[1] Основные документы Джерарда Дж. Фошини и Майкла Дж. Ганса,^[2] Foschini^[3] и Эмре Телатар^[4] расширил возможности беспроводной связи, показав, что для среды с сильным рассеянием возможен существенный выигрыш в пропускной способности, когда антенные решетки используются на обоих концах линии. Альтернативный подход к использованию нескольких антенн основан на наличии нескольких передающих антенн и только при необходимости нескольких приемных антенны. Предложено Вахид Тарох, Намби Сешадри и Роберт Колдербанк эти пространственно-временные коды^[5] (STC) достигают значительных частота ошибок улучшения по сравнению с системами с одной антенной. Их первоначальная схема была основана на решетчатые коды но проще блочные коды были использованы Сиаваш Аламоути,^[6] и позже Вахид Тарох, Хамид Джафархани и Роберт Колдербанк^[7] разработать пространственно-временные блочные коды (STBC). STC предполагает передачу нескольких дублирующих копий данных для компенсации угасание и тепловой шум в надежде, что некоторые из них могут прибыть к получателю в лучшем состоянии, чем другие. В частности, в случае STBC передаваемый поток данных кодируется в блоки, которые распределены между разнесенными антеннами и во времени. Хотя необходимо иметь несколько передающих антенн, нет необходимости иметь несколько приемных антенн, хотя это улучшает производительность. Этот процесс получения различных копий данных известен как разнесенный прием и это то, что в значительной степени изучалось до работы Фошини 1998 года.

STBC обычно представлен матрица. Каждая строка представляет собой временной интервал, а каждый столбец представляет передачи одной антенны во времени.

${\displaystyle {\text{time-slots}}{\begin{matrix}{\text{transmit antennas}}\\\left\downarrow {\overrightarrow {\begin{bmatrix}s_{11}&s_{12}&\cdots &s_{1n_{T}}\\s_{21}&s_{22}&\cdots &s_{2n_{T}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\s_{T1}&s_{T2}&\cdots &s_{Tn_{T}}\end{bmatrix}}}\right.\end{matrix}}}$

Здесь, ${\displaystyle s_{ij}}$ это модулированный символ для передачи во временном интервале ${\displaystyle i}$ от антенны ${\displaystyle j}$. Должно быть ${\displaystyle T}$ временные интервалы и ${\displaystyle n_{T}}$ передающие антенны, а также ${\displaystyle n_{R}}$ приемные антенны. Обычно считается, что этот блок имеет длину. ${\displaystyle T}$

В кодовая скорость STBC измеряет, сколько символов за один временной интервал он передает в среднем в течение одного блока.^[7] Если блок кодирует ${\displaystyle k}$ символов, кодовая скорость равна

${\displaystyle r={\frac {k}{T}}.}$

Только один стандартный STBC может достичь полной скорости (скорость 1) - Кодекс Аламоути.

Ортогональность

STBC в том виде, в каком они были первоначально введены и как обычно исследовались, ортогональный. Это означает, что STBC разработан таким образом, что векторов представление любой пары столбцов, взятых из матрицы кодирования, является ортогональным. Результат этого прост, линейный, оптимальный декодирование на приемнике. Его наиболее серьезный недостаток заключается в том, что все коды, кроме одного, которые удовлетворяют этому критерию, должны жертвовать некоторой частью своей скорости передачи данных (см. Кодекс Аламоути ).

Более того, существуют квазиортогональные STBC которые достигают более высоких скоростей передачи данных за счет межсимвольных помех (ISI). Таким образом, их характеристики по частоте ошибок ниже, чем у STBC с ортогональной скоростью 1, которые обеспечивают передачу без ISI из-за ортогональности.

Дизайн STBC

Дизайн STBC основан на так называемом критерии разнообразия, разработанном Tarokh et al. в их более ранней статье о пространственно-временные решетчатые коды.^[5] Можно показать, что ортогональные STBC достигают максимального разнообразия, разрешенного этим критерием.

Критерий разнообразия

Назовите кодовое слово

${\displaystyle \mathbf {c} =c_{1}^{1}c_{1}^{2}\cdots c_{1}^{n_{T}}c_{2}^{1}c_{2}^{2}\cdots c_{2}^{n_{T}}\cdots c_{T}^{1}c_{T}^{2}\cdots c_{T}^{n_{T}}}$

и вызвать ошибочно декодированное полученное кодовое слово

${\displaystyle \mathbf {e} =e_{1}^{1}e_{1}^{2}\cdots e_{1}^{n_{T}}e_{2}^{1}e_{2}^{2}\cdots e_{2}^{n_{T}}\cdots e_{T}^{1}e_{T}^{2}\cdots e_{T}^{n_{T}}.}$

Тогда матрица

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {c} ,\mathbf {e} )={\begin{bmatrix}e_{1}^{1}-c_{1}^{1}&e_{2}^{1}-c_{2}^{1}&\cdots &e_{T}^{1}-c_{T}^{1}\\e_{1}^{2}-c_{1}^{2}&e_{2}^{2}-c_{2}^{2}&\cdots &e_{T}^{2}-c_{T}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{1}^{n_{T}}-c_{1}^{n_{T}}&e_{2}^{n_{T}}-c_{2}^{n_{T}}&\cdots &e_{T}^{n_{T}}-c_{T}^{n_{T}}\end{bmatrix}}}$

должен быть полнымклассифицировать для любой пары различных кодовых слов ${\displaystyle \mathbf {c} }$ и ${\displaystyle \mathbf {e} }$ дать максимально возможный порядок разнообразия ${\displaystyle n_{T}n_{R}}$. Если вместо этого ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {c} ,\mathbf {e} )}$ имеет минимальный ранг ${\displaystyle b}$ над набором пар различных кодовых слов, тогда пространственно-временной код предлагает порядок разнесения ${\displaystyle bn_{R}}$. Рассмотрение показанного примера STBC ниже показывает, что все они удовлетворяют этому критерию максимального разнообразия.

STBC предлагают только выигрыш от разнесения (по сравнению со схемами с одной антенной), а не выигрыш от кодирования. Здесь нет схемы кодирования - избыточность просто обеспечивает разнесение в пространстве и времени. Это контрастирует с пространственно-временные решетчатые коды которые обеспечивают как разнесение, так и выигрыш от кодирования, поскольку они распределяют обычный решетчатый код по пространству и времени.

Кодирование

Кодекс Аламоути

Показатели коэффициента ошибок по битам моделируемой передачи Аламоути по частично инвариантным во времени каналам MISO и MIMO (K = 0,6). Обратите внимание, что случай Alamouti 2x1 полностью соответствует теоретическому разнесению 2-го порядка, однако Alamouti 2x2 имеет лучшую производительность BER из-за дополнительного усиления массива.^[8]

Сиаваш Аламоути изобрел самый простой из всех STBC в 1998 году,^[6] хотя сам термин «пространственно-временной блочный код» не придумал. Он был разработан для системы с двумя передающими антеннами и имеет матрицу кодирования:

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}\end{bmatrix}},}$

где * обозначает комплексно сопряженный.

Совершенно очевидно, что это код со скоростью 1. Для передачи двух символов требуется два временных интервала. Использование оптимального расшифровка схема, обсуждаемая ниже, коэффициент битовых ошибок (BER) этого STBC эквивалентен ${\displaystyle 2n_{R}}$-ответвляться максимальное соотношение сочетания (MRC). Это результат идеальной ортогональности между символами после обработки приема - есть две копии каждого передаваемого символа и ${\displaystyle n_{R}}$ копии получены.

Это особенный STBC. Это Только ортогональный STBC, который достигает скорости -1.^[5] Другими словами, это единственный STBC, который может достичь своего полного выигрыша за счет разнесения без необходимости жертвовать скоростью передачи данных. Строго говоря, это верно только для сложный символы модуляции. Поскольку почти все диаграммы созвездий полагаются на комплексные числа, однако это свойство обычно дает коду Аламоути значительное преимущество по сравнению с STBC более высокого порядка, даже если они обеспечивают лучшую производительность по частоте ошибок. Видеть 'Пределы скорости 'для более подробной информации.

Значение предложения Аламоути в 1998 году состоит в том, что это была первая демонстрация метода кодирования, который обеспечивает полное разнообразие с линейный обработка на приемнике. Предыдущие предложения по разнесение передачи требуемые схемы обработки, которые масштабируются экспоненциально с количеством передающих антенн. Кроме того, это был первый открытый цикл разнесение передачи техника, которая имела такую ​​возможность. Последующие обобщения концепции Аламоути оказали огромное влияние на индустрию беспроводной связи.

STBC высшего порядка

Tarokh et al. обнаружил набор STBC^[7][9] которые особенно просты, и придумали название схемы. Они также доказали, что никакой код для более чем двух передающих антенн не может обеспечить полную скорость. С тех пор их коды были улучшены (как первоначальными авторами, так и многими другими). Тем не менее, они служат наглядными примерами того, почему показатель не может достигнуть 1 и какие еще проблемы необходимо решить для получения «хороших» STBC. Они также продемонстрировали простой, линейный расшифровка схема, которая соответствует их кодам под совершенным информация о состоянии канала предположение.

3 передающие антенны

Два простых кода для 3 передающих антенн:

${\displaystyle C_{3,1/2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}\\-c_{2}&c_{1}&-c_{4}\\-c_{3}&c_{4}&c_{1}\\-c_{4}&-c_{3}&c_{2}\\c_{1}^{*}&c_{2}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}\\-c_{3}^{*}&c_{4}^{*}&c_{1}^{*}\\-c_{4}^{*}&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad C_{3,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(-c_{1}-c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}*\right)}{2}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(c_{2}+c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}.\end{bmatrix}}}$

Эти коды достигают скорости 1/2 и 3/4 соответственно. Эти две матрицы дают примеры того, почему коды для более чем двух антенн должны жертвовать скоростью - это единственный способ добиться ортогональности. Одна конкретная проблема с ${\displaystyle C_{3,3/4}}$ в том, что он имеет неравномерную силу среди символов, которые он передает. Это означает, что сигнал не имеет постоянный конверт и что мощность, которую должна передавать каждая антенна, должна варьироваться, что нежелательно. С тех пор были разработаны модифицированные версии этого кода, которые решают эту проблему.

4 передающие антенны

Два простых кода для 4 передающих антенн:

${\displaystyle C_{4,1/2}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4}\\-c_{2}&c_{1}&-c_{4}&c_{3}\\-c_{3}&c_{4}&c_{1}&-c_{2}\\-c_{4}&-c_{3}&c_{2}&c_{1}\\c_{1}^{*}&c_{2}^{*}&c_{3}^{*}&c_{4}^{*}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{3}^{*}&c_{4}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{2}^{*}\\-c_{4}^{*}&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}&c_{1}^{*}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {}C_{4,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(-c_{1}-c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}^{*}\right)}{2}}&{\frac {\left(-c_{2}-c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}\\{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&-{\frac {c_{3}^{*}}{\sqrt {2}}}&{\frac {\left(c_{2}+c_{2}^{*}+c_{1}-c_{1}^{*}\right)}{2}}&-{\frac {\left(c_{1}+c_{1}^{*}+c_{2}-c_{2}^{*}\right)}{2}}\end{bmatrix}}.}$

Эти коды достигают скорости 1/2 и 3/4 соответственно, как и их аналоги с 3 антеннами. ${\displaystyle C_{4,3/4}}$ проявляет те же проблемы с неравномерным питанием, что и ${\displaystyle C_{3,3/4}}$. Улучшенная версия ${\displaystyle C_{4,3/4}}$ является^[10]

${\displaystyle C_{4,3/4}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&0\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&0&c_{3}\\-c_{3}^{*}&0&c_{1}^{*}&-c_{2}\\0&-c_{3}^{*}&c_{2}^{*}&c_{1}\end{bmatrix}},}$

который имеет одинаковую мощность от всех антенн во всех временных интервалах.

Расшифровка

Одна особенно привлекательная особенность ортогональных STBC заключается в том, что максимальная вероятность декодирование может быть достигнуто на приемнике только линейный обработка. Чтобы рассмотреть способ декодирования, необходима модель системы беспроводной связи.

Вовремя ${\displaystyle t}$, сигнал ${\displaystyle r_{t}^{j}}$ получено на антенну ${\displaystyle j}$ является:

${\displaystyle r_{t}^{j}=\sum _{i=1}^{n_{T}}\alpha _{ij}s_{t}^{i}+n_{t}^{j},}$

куда ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ усиление на трассе от передающей антенны ${\displaystyle i}$ принимать антенну ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle s_{t}^{i}}$ это сигнал, передаваемый передающей антенной ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle n_{t}^{j}}$ это образец аддитивный белый гауссов шум (AWGN ).

Правило обнаружения максимального правдоподобия^[9] состоит в формировании переменных решения

${\displaystyle R_{i}=\sum _{t=1}^{n_{T}}\sum _{j=1}^{n_{R}}r_{t}^{j}\alpha _{\epsilon _{t}(i)j}\delta _{t}(i)}$

куда ${\displaystyle \delta _{k}(i)}$ это знак ${\displaystyle s_{i}}$ в ${\displaystyle k}$^th строка кодовой матрицы, ${\displaystyle \epsilon _{k}(p)=q}$ означает, что ${\displaystyle s_{p}}$ есть (с точностью до разницы знаков), ${\displaystyle (k,q)}$ элемент матрицы кодирования, для ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n_{T}}$ а затем решить символ созвездия ${\displaystyle s_{i}}$ это удовлетворяет

${\displaystyle s_{i}=\arg {}\min _{s\in {\mathcal {A}}}\left(\left|R_{i}-s\right|^{2}+\left(-1+\sum _{k,l}^{}\left|\alpha _{kl}\right|^{2}\right)\left|s\right|^{2}\right),}$

с ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ в созвездие алфавит. Несмотря на внешний вид, это простая линейная схема декодирования, обеспечивающая максимальное разнообразие.

Пределы скорости

Помимо отсутствия полноскоростных сложных ортогональных STBC для более чем двух антенн, было дополнительно показано, что для более чем двух антенн максимально возможная скорость составляет 3/4.^[11] Были разработаны коды, которые в значительной степени достигают этого, но они имеют очень большую длину блока. Это делает их непригодными для практического использования, поскольку декодирование не может продолжаться до тех пор, пока все передачи в блоке были получены, поэтому более длинная длина блока, ${\displaystyle T}$, приводит к более длительной задержке декодирования. Один конкретный пример, для 16 передающих антенн, имеет скорость 9/16 и длину блока 22 880 временных интервалов!^[12]

Было доказано^[13] что самый высокий рейтинг любой ${\displaystyle n_{T}}$- код антенны может достичь

${\displaystyle r_{\max }={\frac {n_{0}+1}{2n_{0}}},}$

куда ${\displaystyle n_{T}=2n_{0}}$ или же ${\displaystyle n_{T}=2n_{0}-1}$, если в кодовой матрице не допускается линейная обработка (указанная максимальная скорость доказана в^[13] применяется только к исходному определению ортогональных планов, т.е. любая запись в матрице ${\displaystyle 0,c_{i},-c_{i},c_{i}^{*},}$, или же ${\displaystyle -c_{i}^{*}}$, что заставляет любую переменную ${\displaystyle c_{i}}$ не может повторяться ни в одном столбце матрицы). Предполагается, что этот предел скорости сохраняется для любых комплексных ортогональных пространственно-временных блочных кодов, даже когда разрешена любая линейная обработка комплексных переменных.^[11] Были найдены закрытые рекурсивные конструкции.^[14]

Квазиортогональные STBC

Эти коды демонстрируют частичную ортогональность и обеспечивают только часть упомянутого выигрыша от разнесения. над. Пример сообщил Хамид Джафархани является:^[15]

${\displaystyle C_{4,1}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4}\\-c_{2}^{*}&c_{1}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{3}^{*}\\-c_{3}^{*}&-c_{4}^{*}&c_{1}^{*}&c_{2}^{*}\\c_{4}&-c_{3}&-c_{2}&c_{1}\end{bmatrix}}.}$

Критерий ортогональности выполняется только для столбцов (1 и 2), (1 и 3), (2 и 4) и (3 и 4). Однако важно то, что код является полноскоростным и требует только линейной обработки на приемнике, хотя декодирование немного сложнее, чем для ортогональных STBC. Результаты показывают, что этот Q-STBC превосходит (в смысле частоты ошибок по битам) полностью ортогональный 4-антенный STBC в хорошем диапазоне отношения сигнал / шум (ОСШ). Однако при высоких SNR (выше примерно 22 дБ в данном конкретном случае) увеличенное разнесение, обеспечиваемое ортогональными STBC, дает лучший BER. Помимо этого, следует учитывать относительные достоинства схем с точки зрения полезной пропускной способности данных.

Q-STBC также были значительно развиты на основе показанного базового примера.

Смотрите также

• Множественный вход и множественный выход (MIMO)
• Пространственно-временное блочное кодирование на основе разнесения передачи (STTD)
• Пространственно-временной код
• Код пространственно-временной решетки
• Дифференциальный пространственно-временной код

Рекомендации

1. Э. Ларссон и П. Стойка,Пространственно-временное блочное кодирование для беспроводной связи. Издательство Кембриджского университета, Великобритания, 2003 г. (китайское издание, 2006 г.).
2. Джерард Дж. Фошини и Майкл. Дж. Ганс (январь 1998 г.). «Об ограничениях беспроводной связи в условиях замирания при использовании нескольких антенн». Беспроводная персональная связь. 6 (3): 311–335. Дои:10.1023 / А: 1008889222784.
3. Джерард Дж. Фошини (осень 1996 г.). «Многоуровневая пространственно-временная архитектура для беспроводной связи в условиях замирания при использовании многоэлементных антенн». Технический журнал Bell Labs. 1 (2): 41–59. Дои:10.1002 / bltj.2015.
4. И. Эмре Телатар (ноябрь 1999 г.). «Пропускная способность многоантенных гауссовских каналов». Европейские транзакции в области телекоммуникаций. 10 (6): 585–595. Дои:10.1002 / ett.4460100604.
5. Вахид Тарох; Намби Сешадри и А. Р. Колдербанк (март 1998 г.). «Пространственно-временные коды для высокоскоростной беспроводной связи: анализ производительности и построение кода». IEEE Transactions по теории информации. 44 (2): 744–765. CiteSeerX  10.1.1.112.4293. Дои:10.1109/18.661517.
6. С.М. Аламоути (октябрь 1998 г.). «Простой метод разнесения передачи для беспроводной связи». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций. 16 (8): 1451–1458. Дои:10.1109/49.730453.
7. Вахид Тарох; Хамид Джафархани и А. Р. Кальдербанк (июль 1999 г.). «Пространственно-временные блочные коды из ортогональных планов» (PDF). IEEE Transactions по теории информации. 45 (5): 744–765. CiteSeerX  10.1.1.138.4537. Дои:10.1109/18.771146. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-12-29.
8. Введение в системы MIMO (MathWorks)
9. Вахид Тарох; Хамид Джафархани и А. Роберт Калдербанк (март 1999 г.). «Пространственно-временное блочное кодирование беспроводной связи: результаты производительности» (PDF). Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций. 17 (3): 451–460. Дои:10.1109/49.753730. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-12-29.
10. Г. Ганесан и П. Стойка (май 2001 г.). «Пространственно-временные блочные коды: подход максимального отношения сигнал / шум». IEEE Transactions по теории информации. 47 (4): 1650–1656. Дои:10.1109/18.923754.
11. Хайцюань Ван и Сян-Ген Ся (октябрь 2003 г.). «Верхние границы скоростей сложных ортогональных пространственно-временных блочных кодов». IEEE Transactions по теории информации. 49 (10): 2788–2796. CiteSeerX  10.1.1.134.6261. Дои:10.1109 / TIT.2003.817830.
12. Вэйфэн Су; Сян-Ген Ся и К. Дж. Рэй Лю (Июнь 2004 г.). «Систематический дизайн высокоскоростных сложных ортогональных пространственно-временных блочных кодов». Письма по коммуникациям IEEE. 8 (6): 380–382. CiteSeerX  10.1.1.420.1452. Дои:10.1109 / LCOMM.2004.827429.
13. Сюэ-Бинь Лян (октябрь 2003 г.). «Ортогональные конструкции с максимальными скоростями». IEEE Transactions по теории информации. 49 (10): 2468–2503. Дои:10.1109 / TIT.2003.817426.
14. Кэджие Лу; Шэнли Фу и Сян-Ген Ся (декабрь 2005 г.). "Конструкции закрытой формы комплексных ортогональных пространственно-временных блочных кодов скоростей (k + 1) / (2k) для 2k-1 или 2k передающих антенн". IEEE Transactions по теории информации. 51 (12): 4340–4347. Дои:10.1109 / TIT.2005.858943.
15. Хамид Джафархани (январь 2001 г.). «Квазиортогональный пространственно-временной блочный код». Транзакции IEEE по коммуникациям. 49 (1): 1–4. CiteSeerX  10.1.1.136.1830. Дои:10.1109/26.898239.