Сферическая модель - Spherical model

это модель ферромагнетизм аналогично Модель Изинга, которая была решена в 1952 г. Т. Х. Берлин и М. Кац. Он обладает замечательным свойством: для линейных размеров d больше четырех, критические показатели определяющие поведение системы вблизи критической точки, не зависят от d и геометрия системы. Это одна из немногих моделей ферромагнетизма, которая может быть решена точно в присутствии внешнего поля.

Формулировка

Модель описывает набор частиц на решетке ${displaystyle mathbb {L} }$ содержащий N места. Для каждого сайта j из ${displaystyle mathbb {L} }$, вращение ${displaystyle sigma _{j}}$ который взаимодействует только со своими ближайшими соседями и внешним полем ЧАС. Она отличается от модели Изинга тем, что ${displaystyle sigma _{j}}$ больше не ограничиваются ${displaystyle sigma _{j}in {1,-1}}$, но может принимать все реальные значения при условии, что

${displaystyle sum _{j=1}^{N}sigma _{j}^{2}=N}$

что в однородной системе гарантирует, что средний квадрат любого спина равен единице, как в обычной модели Изинга.

В функция распределения обобщает из Модель Изинга к

${displaystyle Z_{N}=int _{-infty }^{infty }cdots int _{-infty }^{infty }dsigma _{1}cdots dsigma _{N}exp left[Ksum _{langle jlangle }sigma _{j}sigma _{l}+hsum _{j}sigma _{j}ight]delta left[N-sum _{j}sigma _{j}^{2}ight]}$

куда ${displaystyle delta }$ это Дельта-функция Дирака, ${displaystyle langle jlangle }$ ребра решетки, а ${displaystyle K=J/kT}$ и ${displaystyle h=H/kT}$, куда Т это температура системы, k является Постоянная Больцмана и J константа связи взаимодействий ближайших соседей.

Берлин и Кац рассматривали это как приближение к обычной модели Изинга, утверждая, что ${displaystyle sigma }$-суммирование в модели Изинга можно рассматривать как сумму по всем углам N-размерный гиперкуб в ${displaystyle sigma }$-Космос. Становится интеграция над поверхность гиперсферы, проходящей через все такие углы.

Это было строго доказано Кацем и К. Дж. Томпсоном.^[1] что сферическая модель является предельным случаем N-векторная модель.

Уравнение состояния

Решая статистическую сумму и используя расчет свободная энергия дает уравнение, описывающее намагничивание M системы

${displaystyle 2J(1-M^{2})=kTg'(H/2JM)}$

для функции грамм определяется как

${displaystyle g(z)=(2pi )^{-d}int _{0}^{2pi }ldots int _{0}^{2pi }domega _{1}cdots domega _{d}ln[z+d-cos omega _{1}-cdots -cos omega _{d}]}$

В внутренняя энергия на сайт дается

${displaystyle u={frac {1}{2}}kT-Jd-{frac {1}{2}}H(M+M^{-1})}$

точное соотношение внутренней энергии и намагниченности.

Критическое поведение

За ${displaystyle dleq 2}$ то критическая температура происходит в абсолютный ноль, что приводит к отсутствию фазового перехода для сферической модели. За d больше 2, сферическая модель демонстрирует типичное ферромагнитное поведение с конечным Температура Кюри где ферромагнетизм прекращается. Критическое поведение сферической модели было получено в совершенно общих обстоятельствах, когда размерность d может быть реальным нецелым измерением.

Критические показатели ${displaystyle alpha ,eta ,gamma }$ и ${displaystyle gamma '}$ в случае нулевого поля, которые диктуют поведение системы, близкое к

${displaystyle alpha ={egin{cases}-{frac {4-d}{d-2}}&{ ext{if}} 2<d<4�&{ ext{if }}d>4end{cases}}}$

${displaystyle eta ={frac {1}{2}}}$

${displaystyle gamma ={egin{cases}{frac {2}{d-2}}&{ ext{if }}2<d<41&{ ext{if }}d>4end{cases}}}$

${displaystyle delta ={egin{cases}{frac {d+2}{d-2}}&{ ext{if }}2<d<43&{ ext{if }}d>4end{cases}}}$

которые не зависят от размерности d когда оно больше четырех, измерение может принимать любое реальное значение.

Рекомендации

1. М. Кац и К. Дж. Томпсон, Сферическая модель и предел размерности бесконечного спина, Physica Norvegica, 5 (3-4): 163-168, 1971.

• Р. Дж. Бакстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Лондон, Academic Press, 1982; Переиздание Dover 2007 г., с новой главой «Последующие события»

дальнейшее чтение

• Берлин, Т. Х .; Кац, М. (1952). «Сферическая модель ферромагнетика». Физический обзор. Серия 2. 86: 821–835. Bibcode:1952ПхРв ... 86..821Б. Дои:10.1103 / PhysRev.86.821. МИСТЕР  0049829.