Сферический маятник - Spherical pendulum

Сферический маятник: углы и скорости.

В физика, а сферический маятник является многомерным аналогом маятник. Он состоит из масса м двигаясь без трение на поверхности сфера. Единственный силы на массу действуют реакция из сферы и сила тяжести.

Благодаря сферической геометрии задачи, сферические координаты используются для описания положения массы в терминах (р, θ, φ), где р фиксированный, р=л.

Лагранжева механика

Основная статья: Лагранжева механика

Обычно, чтобы записать кинетическую ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ и потенциал ${\displaystyle V}$ части лагранжиана ${\displaystyle L=T-V}$ в произвольных обобщенных координатах положение массы выражается по декартовой оси. Здесь, следуя условным обозначениям, показанным на схеме,

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

Затем берутся производные по времени от этих координат, чтобы получить скорости по осям

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

Таким образом,

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

и

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

Лагранжиан без постоянных частей есть^[1]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

В Уравнение Эйлера – Лагранжа. включая полярный угол ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

дает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

и

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

Когда ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$ уравнение сводится к дифференциальное уравнение для движения простой гравитационный маятник.

Точно так же Уравнение Эйлера – Лагранжа. с участием азимута ${\displaystyle \phi }$,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

дает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\right)=0}$.

Последнее уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси, ${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ сохраняется. Азимут ${\displaystyle \phi }$, отсутствуя в лагранжиане, является циклическая координата, откуда следует, что его сопряженный импульс это постоянная движения.

В конический маятник относится к специальным решениям, где ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ постоянная, не зависящая от времени.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

Гамильтониан

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

где сопряженные импульсы

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}{\dot {\theta }}}$

и

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$.

С точки зрения координат и импульсов это читается как

${\displaystyle H=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$

Уравнения Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка.

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

Импульс ${\displaystyle P_{\phi }}$ постоянная движения. Это следствие вращательной симметрии системы относительно вертикальной оси.

Траектория

Траектория сферического маятника.

Траекторию движения массы на сфере можно получить из выражения для полной энергии

${\displaystyle E=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}}$

отмечая, что вертикальная составляющая углового момента ${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$ постоянная движения, не зависящая от времени.^[1]

Следовательно

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

что приводит к эллиптический интеграл первого вида^[1] для ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

и эллиптический интеграл третьего рода для ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

Угол ${\displaystyle \theta }$ лежит между двумя кругами широты,^[1] где

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

Смотрите также

• Маятник Фуко
• Конический маятник
• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)
• Рутианская механика

использованная литература

1. Ландау Лев Давидович; Евгений Михайлович Лифшиц (1976). Курс теоретической физики: Том 1 Механика. Баттерворт-Хайненанн. С. 33–34. ISBN  0750628960.

дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Александр (1942). «Сферический маятник и сложная интеграция». Американский математический ежемесячник. 49 (8): 521–523. Дои:10.1080/00029890.1942.11991275.
• Кон, Уолтер (1946). «Интеграция Countour в теории сферического маятника и тяжелого симметричного волчка». Труды Американского математического общества. 59 (1): 107–131. Дои:10.2307/1990314. JSTOR  1990314.
• Олссон, М. Г. (1981). «Снова о сферическом маятнике». Американский журнал физики. 49 (6): 531–534. Bibcode:1981AmJPh..49..531O. Дои:10.1119/1.12666.
• Хорозов, Эмиль (1993). «Об изоэнергетической невырожденности сферического маятника». Письма о физике A. 173 (3): 279–283. Bibcode:1993ФЛА..173..279Х. Дои:10.1016/0375-9601(93)90279-9.
• Ширяев, А. С .; Ludvigsen, H .; Эгеланн, О. (2004). «Раскачивание сферического маятника за счет стабилизации его первых интегралов». Automatica. 40: 73–85. Дои:10.1016 / j.automatica.2003.07.009.
• Эссен, Ханно; Апазидис, Николай (2009). «Поворотные точки сферического маятника и золотой пайки». Европейский журнал физики. 30 (2): 427–432. Bibcode:2009EJPh ... 30..427E. Дои:10.1088/0143-0807/30/2/021.
• Дуллин, Хольгер Р. (2013). «Полуглобальные симплектические инварианты сферического маятника». Журнал дифференциальных уравнений. 254 (7): 2942–2963. Дои:10.1016 / j.jde.2013.01.018.