Сквирмер - Squirmer

Сферический микроплавец в потоке Стокса

В сквирт модель сферического микроплавателя, плавающего в Стокса поток. Модель Сквирмера была введена Джеймс Лайтхилл в 1952 году и усовершенствован и использован для моделирования Парамеций Джона Блейка в 1971 году.^[1][2]Блейк использовал модель сквирмера для описания потока, создаваемого ковром из бьющихся коротких нитей, который называется реснички на поверхности Paramecium. Сегодня сквирмер - это стандартная модель для изучения самоходные частицы, Такие как Частицы Януса, в потоке Стокса.^[3]

Поле скорости в кадре частицы

Здесь мы даем поле течения сквирмера в случае недеформируемого осесимметричный сферический сквирмер (радиус ${\displaystyle R}$).^[1][2] Эти выражения приведены в сферическая система координат.

${\displaystyle u_{r}(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{r^{3}}}-1\right)B_{1}P_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,}$
${\displaystyle u_{\theta }(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{2r^{3}}}+1\right)B_{1}V_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.}$

Здесь ${\displaystyle B_{n}}$ - постоянные коэффициенты, ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ находятся Полиномы Лежандра, и ${\displaystyle V_{n}(\cos \theta )={\frac {-2}{n(n+1)}}\partial _{\theta }P_{n}(\cos \theta )}$.
Один находит ${\displaystyle P_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,P_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1),\dots ,V_{1}(\cos \theta )=\sin \theta ,V_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta ,\dots }$.
Вышеупомянутые выражения относятся к движущейся частице. На интерфейсе можно найти ${\displaystyle u_{\theta }(R,\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}V_{n}}$ и ${\displaystyle u_{r}(R,\theta )=0}$.

Шейкер, ${\displaystyle \beta =-\infty }$	Толкатель, ${\displaystyle \beta =-5}$	Нейтральный, ${\displaystyle \beta =0}$	Съемник, ${\displaystyle \beta =5}$	Шейкер, ${\displaystyle \beta =\infty }$	Пассивная частица
Шейкер, ${\displaystyle \beta =-\infty }$	Толкатель, ${\displaystyle \beta =-5}$	Нейтральный, ${\displaystyle \beta =0}$	Съемник, ${\displaystyle \beta =5}$	Шейкер, ${\displaystyle \beta =\infty }$	Пассивная частица
Поле скоростей сквирмера и пассивной частицы (верхний ряд: лабораторная рамка, нижний ряд: рамка пловца)

Скорость плавания и лабораторный корпус

Используя Взаимная теорема Лоренца., находится вектор скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {U} =-{\tfrac {1}{2}}\int \mathbf {u} (R,\theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\tfrac {2}{3}}B_{1}\mathbf {e} _{z}}$. Поток в фиксированной лабораторной раме определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {u} ^{L}=\mathbf {u} +\mathbf {U} }$:

${\displaystyle u_{r}^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{r^{3}}}UP_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,}$
${\displaystyle u_{\theta }^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{2r^{3}}}UV_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.}$

со скоростью плавания ${\displaystyle U=|\mathbf {U} |}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }\mathbf {u} ^{L}=0}$ и ${\displaystyle u_{r}^{L}(R,\theta )\neq 0}$.

Структура потока и параметр сквирмера

Приведенные выше серии часто обрезаются до ${\displaystyle n=2}$ при исследовании потока в дальней зоне, ${\displaystyle r\gg R}$. В этом приближении ${\displaystyle u_{\theta }(R,\theta )=B_{1}\sin \theta +{\tfrac {1}{2}}B_{2}\sin 2\theta }$, с параметром squirmer ${\displaystyle \beta =B_{2}/|B_{1}|}$. Первый режим ${\displaystyle n=1}$ характеризует диполь гидродинамического источника с затуханием ${\displaystyle \propto 1/r^{3}}$ (и с этим скорость плавания ${\displaystyle U}$). Второй режим ${\displaystyle n=2}$ соответствует гидродинамическому стресслет или силовой диполь с затуханием ${\displaystyle \propto 1/r^{2}}$.^[4] Таким образом, ${\displaystyle \beta }$ дает соотношение обоих вкладов и направление силового диполя. ${\displaystyle \beta }$ используется для разделения микропловцов на толкачей, пулеров и нейтральных пловцов.^[5]

Тип пловца	толкатель	нейтральный пловец	съемник	шейкер	пассивная частица
Параметр Squirmer	${\displaystyle \beta <0}$	${\displaystyle \beta =0}$	${\displaystyle \beta >0}$	${\displaystyle \beta =\pm \infty }$
Затухание скорости в дальнем поле	${\displaystyle \mathbf {u} \propto 1/r^{2}}$	${\displaystyle \mathbf {u} \propto 1/r^{3}}$	${\displaystyle \mathbf {u} \propto 1/r^{2}}$	${\displaystyle \mathbf {u} \propto 1/r^{2}}$	${\displaystyle \mathbf {u} \propto 1/r}$
Биологический пример	E.Coli	Парамеций	Chlamydomonas reinhardtii

На рисунках выше показано поле скорости в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета с фиксированными частицами. Гидродинамические дипольные и квадрупольные поля модели сквирмера являются результатом поверхностных напряжений из-за ударов ресничек бактерий, химических реакций или теплового неравновесия на частицах Януса. Сквирмер не требует усилия. Напротив, поле скоростей пассивной частицы является результатом действия внешней силы, ее дальнее поле соответствует «стокслету» или гидродинамическому монополю. Бессиловая пассивная частица не движется и не создает никакого поля потока.

Рекомендации

1. Лайтхилл, М. Дж. (1952). «О извивающемся движении деформируемых тел почти сферической формы через жидкости при очень малых числах Рейнольдса». Сообщения по чистой и прикладной математике. 5 (2): 109–118. Дои:10.1002 / cpa.3160050201. ISSN  0010-3640.
2. Блейк, Дж. Р. (1971). «Подход сферической оболочки к движению ресничек». Журнал гидромеханики. 46 (01): 199. Bibcode:1971JFM .... 46..199B. Дои:10.1017 / S002211207100048X. ISSN  0022-1120.
3. Бикель, Томас; Маджи, Аргхья; Вюргер, Алоис (2013). «Схема течения в окрестности самодвижущихся горячих частиц Януса». Физический обзор E. 88 (1): 012301. arXiv:1401.7311. Bibcode:2013PhRvE..88a2301B. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.012301. ISSN  1539-3755. PMID  23944457.
4. Хаппель, Джон; Бреннер, Ховард (1981). «Гидродинамика малых чисел Рейнольдса». Дои:10.1007/978-94-009-8352-6. ISSN  0921-3805.
5. Даунтон, Мэтью Т; Старк, Хольгер (2009). «Моделирование модельного микроплавателя». Журнал физики: конденсированное вещество. 21 (20): 204101. Bibcode:2009JPCM ... 21t4101D. Дои:10.1088/0953-8984/21/20/204101. ISSN  0953-8984.