Лемма Стечкина - Stechkins lemma - Wikipedia

В математика - точнее, в функциональный анализ и числовой анализ – Лемма Стечкина результат о ℓ^q норма хвоста последовательность, когда известно, что вся последовательность имеет конечное ℓ^п норма. Здесь термин «хвост» означает те термины в последовательности, которые не входят в число N наибольшие члены для произвольного натуральное число N. Лемма Стечкина часто бывает полезна, когда анализируя Лучший-N-членные приближения к функции в данной основе функциональное пространство. Первоначально результат был доказан Стечкиным в случае ${\displaystyle q=2}$.

Утверждение леммы

Позволять ${\displaystyle 0<p<q<\infty }$

и разреши ${\displaystyle I}$ быть счетным набор индексов. Позволять ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ быть любой последовательностью, проиндексированной ${\displaystyle I}$, и для ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ позволять ${\displaystyle I_{N}\subset I}$ быть индексами ${\displaystyle N}$ наибольшие члены последовательности ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ в абсолютная величина. потом

${\displaystyle \left(\sum _{i\in I\setminus I_{N}}|a_{i}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left(\sum _{i\in I}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}{\frac {1}{N^{r}}}}$

куда

${\displaystyle r={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}>0}$.

Таким образом, лемма Стечкина контролирует ℓ^q норма хвоста последовательности ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ (а значит, ℓ^q норма разницы между последовательностью и ее приближением с использованием ${\displaystyle N}$ наибольшие члены) через^п норма полной последовательности и скорость распада.

Рекомендации

• Шнайдер, Райнхольд; Uschmajew, Андре (2014). «Скорости аппроксимации иерархического тензорного формата в периодических пространствах Соболева». Журнал сложности. 30 (2): 56–71. CiteSeerX  10.1.1.690.6952. Дои:10.1016 / j.jco.2013.10.001. ISSN  0885-064X. См. Раздел 2.1 и сноску 5.