Точка Штейнера (треугольник) - Steiner point (triangle)

В геометрия треугольника, то Точка Штейнера особая точка, связанная с самолет треугольник.^[1] Это центр треугольника^[2] и обозначен как центр X (99) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников. Якоб Штайнер (1796–1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Точка была названа Штайнером Йозеф Нойберг в 1886 г.^[2][3]

Определение

Линия через А параллельно ДО Н.Э' , линия через B параллельно C'A ' , а линия через C параллельно A'B ' согласны с точкой зрения Штайнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Штайнер определил это иначе.^[2])

Позволять ABC быть любым заданным треугольником. Позволять О быть центр окружности и K быть симедианная точка треугольника ABC. В круг с Ok поскольку диаметр Брокар круг треугольника ABC. Линия через О перпендикулярно линии до н.э пересекает круг Брокара в другой точке А ' . Линия через О перпендикулярно линии CA пересекает круг Брокара в другой точке B ' . Линия через О перпендикулярно линии AB пересекает круг Брокара в другой точке C ' . (Треугольник A'B'C ' это Треугольник Брокара треугольника ABC.) Позволять L_А быть линией через А параллельно линии ДО Н.Э' , L_B быть линией через B параллельно линии C'A ' и L_C быть линией через C параллельно линии A'B ' . Затем три строки L_А, L_B и L_C находятся одновременный. Точка параллелизма - это Точка Штейнера треугольника ABC.

в Энциклопедия центров треугольников точка Штейнера определяется следующим образом;

Альтернативное построение точки Штейнера

Позволять ABC быть любым заданным треугольником. Позволять О быть центр окружности и K быть симедианная точка треугольника ABC. Позволять л_А быть отражением линии Ok в соответствии до н.э, л_B быть отражением линии Ok в соответствии CA и л_C быть отражением линии Ok в соответствии AB. Пусть линии л_B и л_C пересекаться в А ″, линии л_C и л_А пересекаться в B ″ и линии л_А и л_B пересекаться в C ″. Тогда строки AA ″, BB ″ и CC ″ совпадают. Смысл параллелизм точка Штейнера треугольника ABC.

Трилинейные координаты

В трилинейные координаты точки Штейнера приведены ниже.

( до н.э / ( б² − c²) : ок / (c² − а²) : ab / (а² − б² ) )

= ( б²c² csc (B - В): c²а² csc (C − А) : а²б² csc (А − B) )

Характеристики

1. Окружность треугольника Штейнера ABC, также называемый эллипсом Штейнера, представляет собой эллипс наименьшей площади, проходящий через вершины А, B и C. Точка Штейнера треугольника ABC лежит на Круговорот Штейнера треугольника ABC.
2. Хонсбергер заявил следующее как свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника - это точка центр массы системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла в этой вершине.^[4] Фактически центром масс такой системы является не точка Штейнера, а точка Центр тяжести кривизны Штейнера, имеющий трилинейные координаты ${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)}$.^[5] Это центр треугольника, обозначенный как X (1115) в Энциклопедия центров треугольников.
3. В Линия Симсона точки Штейнера треугольника ABC параллельно линии Ok куда О это центр описанной окружности и K является симмедианной точкой треугольника ABC.

Тарри-пойнт

Линия через А перпендикулярно ДО Н.Э' , линия через B перпендикулярно C'A ' , а линия через C перпендикулярно A'B ' согласны в точке Тарри.

Точка Тэрри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Позволять ABC быть любым заданным треугольником. Дело в описанный круг треугольника ABC диаметрально противоположно точке треугольника Штейнера ABC называется Терри-пойнт треугольника ABC. Точка Тарри - это центр треугольника, обозначенный как центр X (98) в Энциклопедия центров треугольников. Трилинейные координаты точки Тарри приведены ниже:

(сек ( А + ω): сек (B + ω): сек ( C + ω)),

где ω - Угол Брокара треугольника ABC.

= ( ж( а, б, c ) : ж( б, c, а ) : ж( c, а, б ) ),

куда ж( а, б, c ) = до н.э / ( б⁴ + c⁴ − а²б² − а²c² )

Аналогично определению точки Штейнера, точку Тарри можно определить следующим образом:

Позволять ABC быть любым заданным треугольником. Позволять A'B'C ' быть треугольником Брокара треугольника ABC. Позволять L_А быть линией через А перпендикуляр к линии ДО Н.Э' , L_B быть линией через B перпендикуляр к линии C'A ' и L_C быть линией через C перпендикуляр к линии A'B ' . Затем три строки L_А, L_B и L_C находятся одновременный. Точка параллелизма - это Терри-пойнт треугольника ABC.

Рекомендации

1. Пол Э. Блэк. «Точка Штейнера». Словарь алгоритмов и структур данных. Национальный институт стандартов и технологий США. Получено 17 мая 2012.
2. Кимберлинг, Кларк. «Точка Штейнера». Получено 17 мая 2012.
3. Дж. Нойберг (1886). "Sur le point de Steiner". Journal de mathématiques spéciales: 29.
4. Хонсбергер, Росс (1965). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков. Математическая ассоциация Америки. С. 119–124.
5. Эрик В., Вайсштейн. "Центроид кривизны Штейнера". MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 17 мая 2012.