Стоксова динамика - Stokesian dynamics

Стоксова динамика^[1]это метод решения Уравнение Ланжевена, что является соответствующей формой 2-й закон Ньютона для Броуновская частица. В этом методе взвешенные частицы рассматриваются дискретно, в то время как приближение континуума остается в силе для окружающей жидкости, то есть обычно предполагается, что взвешенные частицы значительно больше, чем молекулы растворителя. Затем частицы взаимодействуют посредством гидродинамических сил, передаваемых через сплошную жидкость, и когда частица Число Рейнольдса мала, эти силы определяются с помощью линейных уравнений Стокса (отсюда и название метода). Кроме того, этот метод может также разрешать негидродинамические силы, такие как броуновские силы, возникающие из-за флуктуирующего движения жидкости, а также межчастичные или внешние силы. Таким образом, стоксова динамика может быть применена к множеству проблем, включая седиментацию, диффузию и реологию, и она направлена ​​на обеспечение того же уровня понимания многофазных систем частиц, что и молекулярная динамика для статистических свойств вещества. За ${\displaystyle N}$ жесткие частицы радиуса ${\displaystyle a}$ суспендирован в несжимаемой ньютоновской жидкости вязкости ${\displaystyle \eta }$ и плотность ${\displaystyle \rho }$, движение жидкости регулируется уравнениями Навье – Стокса, а движение частиц описывается связанным уравнением движения:

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

В приведенном выше уравнении ${\displaystyle \mathbf {U} }$ - вектор скорости поступательного движения / вращения частицы размерности 6N. ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$ - гидродинамическая сила, т. е. сила, прилагаемая жидкостью к частице из-за относительного движения между ними. ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$ это стохастический Броуновский сила из-за теплового движения жидких частиц. ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$ - детерминированная негидродинамическая сила, которая может быть почти любой формой межчастичной или внешней силы, например электростатическое отталкивание между одноименными заряженными частицами. Броуновская динамика один из популярных приемов решения Уравнение Ланжевена, но гидродинамическое взаимодействие в Броуновская динамика сильно упрощен и обычно включает только изолированное сопротивление тела. С другой стороны, стоксова динамика включает в себя гидродинамические взаимодействия многих тел. Гидродинамическое взаимодействие очень важно для неравновесных суспензий, таких как сдвиговые подвеска, где он играет жизненно важную роль в его микроструктуре и, следовательно, в его свойствах. Стоксова динамика используется в основном для неравновесных суспензий, где было показано, что она дает результаты, согласующиеся с экспериментами.^[2]

Гидродинамическое взаимодействие

Когда движение в масштабе частицы таково, что число Рейнольдса частицы мало, гидродинамическая сила, действующая на частицы в суспензии, подвергающейся объемному линейному сдвиговому потоку, равна:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

Вот, ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$ - скорость объемного сдвигового потока, рассчитанная в центре частицы, ${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$ - симметричная часть тензора градиента скорости; ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$ и ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$ представляют собой зависящие от конфигурации матрицы сопротивления, которые задают гидродинамическую силу / крутящий момент на частицах из-за их движения относительно жидкости (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$) и из-за наложенного сдвигового потока (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$). Обратите внимание, что нижние индексы на матрицах указывают связь между кинематическими (${\displaystyle \mathbf {U} }$) и динамический (${\displaystyle \mathbf {F} }$) количества.

Одной из ключевых особенностей стоксовской динамики является обработка гидродинамических взаимодействий, которая является довольно точной, но не требует вычислительных затрат (например, методы граничного интеграла ) для большого количества частиц. Классическая стоксова динамика требует ${\displaystyle O(N^{3})}$ операции, где N - количество частиц в системе (обычно периодический ящик). Последние достижения снизили вычислительные затраты примерно до ${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$^[3][4]

Броуновская сила

Стохастическая или броуновская сила ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$ возникает из-за тепловых колебаний в жидкости и характеризуется:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)}$

Угловые скобки обозначают среднее по ансамблю, ${\displaystyle k}$ - постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ абсолютная температура и ${\displaystyle \delta (t)}$ - дельта-функция. Амплитуда корреляции между броуновскими силами во времени ${\displaystyle 0}$ и в свое время ${\displaystyle t}$ следует из флуктуационно-диссипативной теоремы для системы N тел.

Смотрите также

• Метод погруженных границ
• Стохастический эйлеров лагранжев метод

Рекомендации

1. Брэди, Джон; Босис, Жорж (1988). «Стоксова динамика». Анну. Rev. Fluid Mech. 20: 111–157. Bibcode:1988АнРФМ..20..111Б. Дои:10.1146 / annurev.fl.20.010188.000551.
2. Сето, Рёхей; Ромен Мари (2013). «Утолщение с прерывистым сдвигом фрикционных твердых сферических суспензий». Phys. Rev. Lett. 111 (21): 218301. arXiv:1306.5985. Bibcode:2013ПхРвЛ.111у8301С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.218301. PMID  24313532. S2CID  35020010.
3. Брэди, Джон; Сиеру, Азимина (2001). «Моделирование ускоренной стоксовой динамики» (PDF). Журнал гидромеханики. 448: 115–146. Дои:10.1017 / S0022112001005912.
4. Banchio, Adolfo J .; Джон Ф. Брэди (2003). «Ускоренная стоксова динамика: броуновское движение» (PDF). Журнал химической физики. 118 (22): 10323. Bibcode:2003ЖЧФ.11810323Б. Дои:10.1063/1.1571819.