Каменный метод - Stone method - Wikipedia

В числовой анализ, Метод Стоуна, также известный как строго неявная процедура или же ГЛОТОК, является алгоритм для решения редкий линейная система уравнений. В методе используется неполное разложение LU, что приблизительно соответствует точному LU разложение, чтобы получить итеративный Решение проблемы. Метод назван в честь Гарольд С. Стоун, который предложил его в 1968 году.

LU-разложение - отличное средство решения линейных уравнений общего назначения. Самый большой недостаток заключается в том, что он не может использовать матрицу коэффициентов, чтобы быть разреженной матрицей. LU-разложение разреженной матрицы обычно не является разреженным, поэтому для большой системы уравнений LU-разложение может потребовать недопустимо большого количества объем памяти и количество арифметические операции.

в предварительно подготовленный итерационные методы, если матрица предобуславливателя M является хорошей аппроксимацией матрицы коэффициентов А тогда сходимость быстрее. Это подводит к идее использования приближенной факторизации LU из А как матрица итераций M.

Вариант метода неполной нижней-верхней декомпозиции был предложен Стоуном в 1968 году. Этот метод разработан для системы уравнений, возникающих в результате дискретизации уравнения в частных производных и впервые использовался для пятиугольник система уравнений, полученная при решении эллиптический уравнение в частных производных в двумерный пространство на конечная разница метод. Приближенное разложение LU просматривалось^{[требуется разъяснение ]} в той же пятидиагональной форме, что и исходная матрица (три диагонали для L и три диагонали для U) как наилучшее совпадение семи возможных уравнений для пяти неизвестных для каждой строки матрицы.

Алгоритм

метод камень является    Для линейной системы Ах = б    подсчитать неполный LU факторизация матрицы А       Ах = (M-N) х = (LU-N) х = Ь       MИкс(к + 1) = NИкс(k)+ b, с ||M|| >> ||N||       MИкс(к + 1) = LUИкс(к + 1) = c(k)       LUИкс(k) = L(UИкс(к + 1)) = Lу(k) = c(k)    установить предположение к = 0, х(k)       р(k)= b - АИкс(k)    пока ( || г(k)||2 ≥ ε ) делать       оценить новую правую часть c(k) = NИкс(k) + b       решать Lу(k) = c(k) путем прямой замены у(k) = L−1c(k)       решать UИкс(к + 1) = y(k) путем обратной замены Икс(к + 1) = U−1у(k)    конец пока

Сноски

Рекомендации

• Стоун, Х. Л. (1968). «Итерационное решение неявных приближений многомерных дифференциальных уравнений с частными производными». Журнал SIAM по численному анализу. 5 (3): 530–538. Дои:10.1137/0705044. HDL:10338.dmlcz / 104038. - оригинальная статья
• Ферцигер, Дж. и Перич М. (2001). Вычислительные методы гидродинамики. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  3-540-42074-6.
• Акоста, Дж. М. (2001). Численные алгоритмы для трехмерных вычислительных задач динамики жидкости. Кандидатская диссертация. Политехнический университет Каталонии.
• Эта статья включает текст из статьи Stone's_method на CFD-Wiki что находится под GFDL лицензия.