Функция Струве - Struve function

График ${displaystyle mathrm {H} _{n}(x)}$ за ${displaystyle nin [0,1,2,3,4,5]}$

В математика, то Функции Струве ЧАС_α(Икс), являются решениями у(Икс) неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}+left(x^{2}-alpha ^{2}ight)y={frac {4left({frac {x}{2}}ight)^{alpha +1}}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}}$

представлен Герман Струве  (1882 ). В комплексное число α - это порядок функции Струве, и часто является целым числом.

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {K} _{alpha }(x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {K} _{alpha }(x)=mathbf {H} _{alpha }(x)-Y_{alpha }(x)}$.

В модифицированные функции Струве L_α(Икс) равны −т.е.^{−iαπ / 2}ЧАС_α(ix), являются решениями у(Икс) неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}-left(x^{2}+alpha ^{2}ight)y={frac {4left({frac {x}{2}}ight)^{alpha +1}}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}}$

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {M} _{alpha }(x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {M} _{alpha }(x)=mathbf {L} _{alpha }(x)-I_{alpha }(x)}$.

Определения

Поскольку это неоднородный уравнения, решения могут быть построены из одного частного решения путем сложения решений однородной задачи. В этом случае однородными решениями являются Функции Бесселя, а частное решение можно выбрать в качестве соответствующей функции Струве.

Расширение серии Power

Функции Струве, обозначаемые как ЧАС_α(z) имеют вид степенного ряда

${displaystyle mathbf {H} _{alpha }(z)=sum _{m=0}^{infty }{frac {(-1)^{m}}{Gamma left(m+{frac {3}{2}}ight)Gamma left(m+alpha +{frac {3}{2}}ight)}}left({frac {z}{2}}ight)^{2m+alpha +1},}$

куда Γ (z) это гамма-функция.

Модифицированные функции Струве, обозначенные L_ν(z), имеют следующий вид степенного ряда

${displaystyle mathbf {L} _{u }(z)=left({frac {z}{2}}ight)^{u +1}sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{Gamma left({frac {3}{2}}+kight)Gamma left({frac {3}{2}}+k+u ight)}}left({frac {z}{2}}ight)^{2k}.}$

Интегральная форма

Другое определение функции Струве для значений α удовлетворение Re (α) > − 1/2, можно выразить через интегральное представление Пуассона:

${displaystyle mathbf {H} _{alpha }(x)={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{1}(1-t^{2})^{alpha -{frac {1}{2}}}sin xt~dt={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}sin(xcos au )sin ^{2alpha } au ~d au ={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}sin(xsin au )cos ^{2alpha } au ~d au }$

${displaystyle mathbf {K} _{alpha }(x)={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{infty }(1+t^{2})^{alpha -{frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{infty }e^{-xsinh au }cosh ^{2alpha } au ~d au }$

${displaystyle mathbf {L} _{alpha }(x)={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{1}(1-t^{2})^{alpha -{frac {1}{2}}}sinh xt~dt={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}sinh(xcos au )sin ^{2alpha } au ~d au ={frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}sinh(xsin au )cos ^{2alpha } au ~d au }$

${displaystyle mathbf {M} _{alpha }(x)=-{frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{1}(1-t^{2})^{alpha -{frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt=-{frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}e^{-xcos au }sin ^{2alpha } au ~d au =-{frac {2left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}int _{0}^{frac {pi }{2}}e^{-xsin au }cos ^{2alpha } au ~d au }$

Асимптотические формы

Для малых Иксдается разложение в степенной ряд над.

Для больших Икс, получаем:

${displaystyle mathbf {H} _{alpha }(x)-Y_{alpha }(x)={frac {left({frac {x}{2}}ight)^{alpha -1}}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {1}{2}}ight)}}+Oleft(left({ frac {x}{2}}ight)^{alpha -3}ight),}$

куда Y_α(Икс) это Функция Неймана.

Характеристики

Функции Струве удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {H} _{alpha -1}(x)+mathbf {H} _{alpha +1}(x)&={frac {2alpha }{x}}mathbf {H} _{alpha }(x)+{frac {left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {3}{2}}ight)}},mathbf {H} _{alpha -1}(x)-mathbf {H} _{alpha +1}(x)&=2{frac {d}{dx}}left(mathbf {H} _{alpha }(x)ight)-{frac {left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{frac {3}{2}}ight)}}.end{aligned}}}$

Отношение к другим функциям

Функции Струве целого порядка можно выразить через Функции Вебера E_п и наоборот: если п является неотрицательным целым числом, тогда

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {E} _{n}(z)&={frac {1}{pi }}sum _{k=0}^{leftlfloor {frac {n-1}{2}}ightfloor }{frac {Gamma left(k+{frac {1}{2}}ight)left({frac {z}{2}}ight)^{n-2k-1}}{Gamma left(n-k+{frac {1}{2}}ight)}}-mathbf {H} _{n}(z),mathbf {E} _{-n}(z)&={frac {(-1)^{n+1}}{pi }}sum _{k=0}^{leftlfloor {frac {n-1}{2}}ightfloor }{frac {Gamma (n-k-{frac {1}{2}})left({frac {z}{2}}ight)^{-n+2k+1}}{Gamma left(k+{frac {3}{2}}ight)}}-mathbf {H} _{-n}(z).end{aligned}}}$

Струве функции порядка п + 1/2 куда п является целым числом, может быть выражено через элементарные функции. В частности, если п является неотрицательным целым числом, тогда

${displaystyle mathbf {H} _{-n-{frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{frac {1}{2}}}(z),}$

где правая часть - это сферическая функция Бесселя.

Функции Струве (любого порядка) можно выразить через обобщенная гипергеометрическая функция ₁F₂ (который нет гипергеометрическая функция Гаусса ₂F₁):

${displaystyle mathbf {H} _{alpha }(z)={frac {z^{alpha +1}}{2^{alpha }{sqrt {pi }}Gamma left(alpha +{ frac {3}{2}}ight)}}{}_{1}F_{2}left(1,{ frac {3}{2}},alpha +{ frac {3}{2}},-{ frac {z^{2}}{4}}ight).}$

Рекомендации

• Р. М. Аартс и Август Дж. Э. М. Янссен (2003). «Аппроксимация функции Струве. ЧАС₁ возникающие при расчетах импеданса ". J. Acoust. Soc. Являюсь. 113 (5): 2635–2637. Bibcode:2003ASAJ..113.2635A. Дои:10.1121/1.1564019. PMID  12765381.
• Р. М. Аартс и Август Дж. Э. М. Янссен (2016). «Эффективное приближение функций Струве. ЧАС_п возникающие при расчете величин звукового излучения ». J. Acoust. Soc. Являюсь. 140 (6): 4154–4160. Bibcode:2016ASAJ..140.4154A. Дои:10.1121/1.4968792. PMID  28040027.
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 12». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 496. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Иванов, А. Б. (2001) [1994], «Функция Струве», Энциклопедия математики, EMS Press
• Пэрис, Р. Б. (2010), «Функция Струве», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Струве, Х. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren". Annalen der Physik und Chemie. 17 (13): 1008–1016. Bibcode:1882АнП ... 253.1008С. Дои:10.1002 / andp.18822531319.

внешняя ссылка

• Функции Струве в сайт функций Wolfram.