Функция гнева - Anger function

В математике Функция гнева, представлен К. Т. Гнев  (1855 ), является функцией, определяемой как

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

и тесно связан с Функции Бесселя.

В Функция Вебера (также известен как Функция Ломмеля-Вебера), представлен Х. Ф. Вебер  (1879 ), является тесно связанной функцией, определяемой

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta }$

и тесно связан с Функции Бесселя второго рода.

Связь между функциями Вебера и гнева

Функции Гнева и Вебера связаны между собой

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)\end{aligned}}}$

так, в частности, если ν не является целым числом, они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. Если ν - целое число, то функции Гнева J_ν такие же, как функции Бесселя J_ν, а функции Вебера можно выразить как конечные линейные комбинации Функции Струве.

Расширение серии Power

Функция гнева имеет расширение степенного ряда.^[1]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}$

В то время как функция Вебера имеет расширение степенного ряда^[1]

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}$

Дифференциальные уравнения

Функции Ангера и Вебера являются решениями неоднородных форм уравнения Бесселя

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0.}$

Точнее, функции Ангера удовлетворяют уравнению^[1]

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu )\sin(\pi \nu )}{\pi }},}$

а функции Вебера удовлетворяют уравнению^[1]

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-{\frac {z+\nu +(z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}.}$

Повторяющиеся отношения

Функция Гнева удовлетворяет этой неоднородной форме отношение повторения^[1]

${\displaystyle z\mathbf {J} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {J} _{\nu }(z)-{\frac {2\sin \pi \nu }{\pi }}}$

В то время как функция Вебера удовлетворяет этой неоднородной форме отношение повторения^[1]

${\displaystyle z\mathbf {E} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {E} _{\nu }(z)-{\frac {2(1-\cos \pi \nu )}{\pi }}}$

Дифференциальные уравнения с задержкой

Функции Ангера и Вебера удовлетворяют этим однородным формам дифференциальные уравнения с запаздыванием^[1]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu -1}(z)-\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu -1}(z)-\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)}$

Функции Ангера и Вебера также удовлетворяют этим неоднородным формам дифференциальные уравнения с запаздыванием^[1]

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {\sin \pi \nu }{\pi }}}$

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {E} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {E} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu }{\pi }}}$

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 12». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 498. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• C.T. Гнев, Neueste Schr. d. Натурф. d. Ges. я. Данциг, 5 (1855), стр. 1-29
• Прудников, А. (2001) [1994], «Функция гнева», Энциклопедия математики, EMS Press
• Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция Вебера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Г. Watson, "Трактат по теории функций Бесселя", 1–2, Cambridge Univ. Пресса (1952)
• H.F. Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879), стр. 33–76.

1. Пэрис, Р. Б. (2010), «Функции Гнева-Вебера», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248