Stufe (алгебра) - Stufe (algebra)

В теория поля, филиал математика, то Stufe (/ʃtuːfə/; Немецкий: уровень) s(F) из поле F - наименьшее количество квадратов, сумма которых равна -1. Если −1 нельзя записать как сумму квадратов, s(F) = ${\displaystyle \infty }$. В этом случае, F это формально реальное поле. Альбрехт Пфистер доказал, что Stufe, если он конечен, всегда есть степень двойки, и, наоборот, каждая степень двойки встречается.^[1]

Степень 2

Если ${\displaystyle s(F)\neq \infty }$ тогда ${\displaystyle s(F)=2^{k}}$ для некоторых натуральное число ${\displaystyle k}$.^[1][2]

Доказательство: Позволять ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ быть выбранным так, чтобы ${\displaystyle 2^{k}\leq s(F)<2^{k+1}}$. Позволять ${\displaystyle n=2^{k}}$. Тогда есть ${\displaystyle s=s(F)}$ элементы ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s}\in F\setminus \{0\}}$ такой, что

${\displaystyle 0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\cdots +e_{n-1}^{2}} _{=:\,a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\cdots +e_{s}^{2}} _{=:\,b}\;.}$

Обе ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ суммы ${\displaystyle n}$ квадраты и ${\displaystyle a\neq 0}$, так как иначе ${\displaystyle s(F)<2^{k}}$, вопреки предположению о ${\displaystyle k}$.

Согласно теории Формы Пфистера, продукт ${\displaystyle ab}$ сам по себе является суммой ${\displaystyle n}$ квадраты, то есть ${\displaystyle ab=c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}}$ для некоторых ${\displaystyle c_{i}\in F}$. Но с тех пор ${\displaystyle a+b=0}$, у нас также есть ${\displaystyle -a^{2}=ab}$, и поэтому

${\displaystyle -1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},}$

и поэтому ${\displaystyle s(F)=n=2^{k}}$.

Положительная характеристика

Любое поле ${\displaystyle F}$ с положительным характеристика имеет ${\displaystyle s(F)\leq 2}$.^[3]

Доказательство: Позволять ${\displaystyle p=\operatorname {char} (F)}$. Достаточно доказать утверждение для ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Если ${\displaystyle p=2}$ тогда ${\displaystyle -1=1=1^{2}}$, так ${\displaystyle s(F)=1}$.

Если ${\displaystyle p>2}$ рассмотреть набор ${\displaystyle S=\{x^{2}:x\in \mathbb {F} _{p}\}}$ квадратов. ${\displaystyle S\setminus \{0\}}$ это подгруппа из индекс ${\displaystyle 2}$ в циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ с ${\displaystyle p-1}$ элементы. Таким образом ${\displaystyle S}$ содержит точно ${\displaystyle {\tfrac {p+1}{2}}}$ элементы, и то же самое ${\displaystyle -1-S}$.С ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ только есть ${\displaystyle p}$ всего элементов, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle -1-S}$ не может быть непересекающийся, то есть есть ${\displaystyle x,y\in \mathbb {F} _{p}}$ с ${\displaystyle S\ni x^{2}=-1-y^{2}\in -1-S}$ и поэтому ${\displaystyle -1=x^{2}+y^{2}}$.

Характеристики

Stufe s(F) относится к Число Пифагора п(F) к п(F) ≤ s(F) + 1.^[4] Если F формально не реально s(F) ≤ п(F) ≤ s(F) + 1.^[5][6] Аддитивный порядок вида (1), а значит, и показатель степени из Группа Витта из F равно 2s(F).^[7][8]

Примеры

• Stufe из квадратично замкнутое поле равно 1.^[8]
• Stufe из поле алгебраических чисел равно ∞, 1, 2 или 4 (теорема Зигеля).^[9] Примеры Q, Q(√−1), Q(√ − 2) и Q(√−7).^[7]
• Stufe из конечное поле GF (q) равно 1, если q ≡ 1 мод 4 и 2, если q ≡ 3 мод 4.^[3][8][10]
• Stufe из местное поле нечетной характеристики вычетов совпадает с характеристикой ее поля вычетов. Стюфе 2-адического поля Q₂ равно 4.^[9]

Примечания

1. Раджваде (1993) стр.13
2. Лам (2005) стр.379
3. Раджваде (1993) стр.33
4. Раджваде (1993) стр.44
5. Раджваде (1993) стр.228
6. Лам (2005) стр.395
7. Милнор и Хусемоллер (1973) с.75.
8. Лам (2005) стр.380
9. Лам (2005) стр.381
10. Сингх, Сахиб (1974). «Стюфе конечного поля». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 12: 81–82. ISSN  0015-0517. Zbl  0278.12008.

Рекомендации

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Милнор, Дж.; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.
• Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.

дальнейшее чтение

• Кнебуш, Манфред; Шарлау, Винфрид (1980). Алгебраическая теория квадратичных форм. Общие методы и формы Пфистера. Семинар DMV. 1. Заметки, сделанные Хейсук Ли. Бостон - Базель - Штутгарт: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-1206-8. Zbl  0439.10011.