Подфункция - Subfunctor

В теория категорий, филиал математика, а подфункция это особый вид функтор это аналог подмножество.

Определение

Позволять C быть категория, и разреши F - контравариантный функтор из C к категория наборов Набор. Контравариантный функтор грамм из C к Набор это подфункция из F если

  1. Для всех объектов c из C, грамм(c) ⊆ F(c), и
  2. Для всех стрелок ж: c′ → c из C, грамм(ж) является ограничением F(ж) к грамм(c).

Это соотношение часто записывается как грамм ⊆ F.

Например, пусть 1 быть категорией с одним объектом и одной стрелкой. Функтор F: 1 → Набор отображает уникальный объект 1 в какой-то набор S и уникальная стрела идентичности 1 к тождественной функции 1S на S. Подфунктор грамм из F отображает уникальный объект 1 к подмножеству Т из S и отображает уникальную тождественную стрелку в тождественную функцию 1Т на Т. Обратите внимание, что 1Т ограничение 1S к Т. Следовательно, подфункторы F соответствуют подмножествам S.

Замечания

Подфункции в целом похожи на глобальные версии подмножеств. Например, если представить себе предметы какой-то категории C аналогично открытым множествам топологического пространства, то контравариантный функтор из C категории множеств дает многозначную предпучка на C, то есть связывает множества с объектами C способом, совместимым со стрелками C. Затем подфункция связывает подмножество с каждым набором, опять же совместимым образом.

Наиболее важными примерами подфункций являются подфункции Hom функтор. Позволять c быть объектом категории C, и рассмотрим функтор Hom (-, c). Этот функтор принимает объект c' из C и возвращает все морфизмы c′ → c. Подфункция Hom (-, c) возвращает только некоторые из морфизмов. Такой подфунктор называется сито, и обычно используется при определении Топологии Гротендика.

Открытые подфункторы

Подфункции также используются при построении представимые функторы по категории окольцованные пространства. Позволять F - контравариантный функтор из категории окольцованных пространств в категорию множеств, и пусть грамм ⊆ F. Предположим, что этот морфизм включения грамм → F представима открытыми погружениями, т. е. для любого представимого функтора Hom (-, Икс) и любой морфизм Hom (-, Икс) → F, волокнистый продукт грамм×FHom (-, Икс) представимый функтор Hom (-, Y) и морфизм Y → Икс определяется Лемма Йонеды это открытое погружение. потом грамм называется открытый подфунктор из F. Если F покрывается представимыми открытыми подфункторами, то при определенных условиях можно показать, что F представимо. Это полезный прием для построения окольцованных пространств. Он был обнаружен и активно эксплуатировался Александр Гротендик, который применил это особенно к случаю схемы. Формальное утверждение и доказательство см. В Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, т. 1, 2-е изд., Глава 0, раздел 4.5.