Суперфункция - Superfunction

Основная статья: Итерированная функция

Основная статья: Бесконечные композиции аналитических функций

В математике суперфункция нестандартное название для повторяющаяся функция для комплексного индекса непрерывной итерации. Грубо говоря, для какой-то функции ж и для некоторой переменной Икс, суперфункция может быть определена выражением

${\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ evaluations of the function }}f}.}$

Потом, S (z; х) можно интерпретировать как суперфункцию функции f (x).Такое определение действительно только для положительного целого индекса. z. Переменная Икс часто опускается. Многочисленные исследования и многочисленные приложения суперфункций используют различные расширения этих суперфункций на комплексные и непрерывные индексы; и анализ существования, уникальности и их оценка. В Функции Аккермана и тетрация можно интерпретировать с точки зрения суперфункций.

История

Анализ суперфункций возник из приложений вычисления дробных итераций функций. Суперфункции и их инверсии позволяют оценивать не только первую отрицательную степень функции (обратной функции), но также любую действительную и даже сложную итерацию этой функции. Исторически ранняя рассматриваемая функция такого рода была ${\displaystyle {\sqrt {\exp }}~}$; функция ${\displaystyle {\sqrt {!~}}~}$ затем использовался в качестве логотипа физического факультета Московский Государственный Университет.^[1]

В то время у этих исследователей не было вычислительного доступа для оценки таких функций, но функция ${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$ был удачливее чем ${\displaystyle ~{\sqrt {!~}}~~}$: по крайней мере, наличие голоморфная функция${\displaystyle \varphi }$ такой, что ${\displaystyle \varphi (\varphi (u))=\exp(u)}$ был продемонстрирован в 1950 году Хельмут Кнезер.^[2]

Опираясь на элегантную теорию функциональной сопряженности Уравнение Шредера,^[3] для своего доказательства Кнезер построил «сверхфункцию» экспоненциального отображения через соответствующие Функция Абеля ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, удовлетворяющие соответствующим Уравнение Абеля

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

так что ${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\ }$. Найденная Кнезером обратная функция

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u))}$

является весь суперэкспоненциальный, хотя на реальной оси он нереален; это нельзя интерпретировать как тетрациональный, потому что условие ${\displaystyle S(0;x)=x}$ не может быть реализовано для всей суперэкспоненты. В настоящий ${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$ можно построить с помощью тетрациональный (который также является суперэкспоненциалом); в то время как настоящий ${\displaystyle {\sqrt {!~}}~}$ можно построить с помощью сверхфакторный.

Расширения

Формула повторения предыдущей преамбулы может быть записана как

${\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}$

${\displaystyle S(1)=f(x).}$

Вместо последнего уравнения можно было бы написать тождественную функцию,

${\displaystyle S(0)=x~,}$

и расширить диапазон определения сверхфункции S к неотрицательным целым числам. Тогда можно положить

${\displaystyle S(-1)=f^{-1}(x),}$

и расширить диапазон допустимости до целочисленных значений больше -2.

Следующее расширение, например,

${\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}$

нетривиально, потому что обратная функция может быть не определена для некоторых значений ${\displaystyle x}$.Особенно, тетрация можно интерпретировать как сверхфункцию экспоненты для некоторой реальной базы ${\displaystyle b}$; в этом случае,

${\displaystyle f=\exp _{b}.}$

Затем в Икс=1,

${\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}$

но

${\displaystyle S(-2)=\log _{b}0}$

не определено.

Для расширения до нецелых значений аргумента суперфункция должна быть определена другим способом.

Для комплексных чисел ${\displaystyle ~a~}$ и ${\displaystyle ~b~}$, так что ${\displaystyle ~a~}$ принадлежит некоторому подключенному домену ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, суперфункция (из ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle b}$) из голоморфная функция ж на домене ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle S}$, голоморфный в домене ${\displaystyle D}$, так что

${\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\ }$

${\displaystyle S(a)=b.\ }$

Уникальность

В общем случае суперфункция не уникальна. Для данной базовой функции ${\displaystyle f}$, из заданного ${\displaystyle (a\mapsto d)}$ суперфункция ${\displaystyle S}$, еще один ${\displaystyle (a\mapsto d)}$ суперфункция ${\displaystyle G}$ может быть построен как

${\displaystyle G(z)=S(z+\mu (z))\ }$

куда ${\displaystyle \mu }$ - любая 1-периодическая функция, голоморфная хотя бы в некоторой окрестности действительной оси, такая, что ${\displaystyle \mu (a)=0}$.

Модифицированная суперфункция может иметь более узкий диапазон голоморфности. Разнообразие возможных суперфункций особенно велико в предельном случае, когда ширина диапазона голоморфности обращается в ноль; в этом случае мы имеем дело с вещественно-аналитическими суперфункциями.^[4]

Если требуемый диапазон голоморфности достаточно велик, то ожидается, что суперфункция будет уникальной, по крайней мере, в некоторых конкретных базовых функциях. ${\displaystyle H}$. В частности, ${\displaystyle (C,0\mapsto 1)}$ сверхфункция${\displaystyle \exp _{b}}$, за ${\displaystyle b>1}$, называется тетрация и считается уникальным, по крайней мере, для${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}}$; для случая ${\displaystyle b>\exp(1/\mathrm {e} )}$,^[5]но до 2009 года уникальность была больше догадка чем теорема с формальным математическим доказательством.

Примеры

Этот небольшой набор элементарных суперфункций проиллюстрирован в.^[6] Некоторые суперфункции могут быть выражены через элементарные функции, они используются без упоминания того, что они являются суперфункциями. Например, для передаточной функции «++», что означает приращение единицы, суперфункция представляет собой просто добавление константы.

Добавление

Выбрал комплексное число ${\displaystyle c}$ и определим функцию ${\displaystyle \mathrm {add} _{c}}$ в качестве ${\displaystyle \mathrm {add} _{c}(x)=c+x,~~~~\forall x\in \mathbb {C} }$. Далее определим функцию ${\displaystyle \mathrm {mul_{c}} }$ в качестве${\displaystyle \mathrm {mul_{c}} (x)=c\cdot x,~~~~\forall x\in \mathbb {C} }$.

Тогда функция ${\displaystyle S(z;x)=x+\mathrm {mul_{c}} (z)}$ - суперфункция (от 0 до c) функции ${\displaystyle ~\mathrm {add_{c}} ~}$ на C.

Умножение

Возведение в степень ${\displaystyle \exp _{c}}$ суперфункция (от 1 до ${\displaystyle c}$) функции ${\displaystyle \mathrm {mul} _{c}}$.

Квадратичные многочлены

Примеры, за исключением последнего, ниже, по существу, взяты из новаторской статьи Шредера 1870 года.^[3]

Позволять ${\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}$.Потом,

${\displaystyle S(z;x)=\cos(2^{z}\arccos(x))}$

это ${\displaystyle (\mathbb {C} ,~0\!\rightarrow \!1)}$ суперфункция (итерационная орбита) ж.

В самом деле,

${\displaystyle S(z+1;x)=\cos(2\cdot 2^{z}\arccos(x))=2\cos(2^{z}\arccos(x))^{2}-1=f(S(z;x))\ }$

и ${\displaystyle S(0;x)=x~.\ }$

В этом случае суперфункция ${\displaystyle S}$ периодический, с периодом${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\ln(2)}}i\approx 9.0647202836543876194\!~i}$; а сверхфункция стремится к единице в отрицательном направлении действительной оси,

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }S(z)=1.\ }$

Алгебраическая функция

По аналогии,

${\displaystyle f(x)=2x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

имеет итерационную орбиту

${\displaystyle S(z;x)=\sin(2^{z}\arcsin(x)).}$

Рациональная функция

В общем случае передаточная (ступенчатая) функция f (x) не должен быть вся функция. Пример с участием мероморфная функция ж читает,

${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1-x^{2}}}~~~~~\forall x\in D~}$; ${\displaystyle ~D=\mathbb {C} \backslash \{-1,1\}.}$

Его итерационная орбита (суперфункция) равна

${\displaystyle S(z;x)=\tan(2^{z}\arctan(x))}$

на C, множество комплексных чисел за исключением особенностей функции SЧтобы убедиться в этом, вспомним тригонометрическую формулу двойного угла

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )^{2}}}~~\forall \alpha \in \mathbb {C} \backslash \{\alpha \in \mathbb {C} :\cos(\alpha )=0||\sin(\alpha )=\pm \cos(\alpha )\}.}$

Возведение в степень

Позволять${\displaystyle b>1}$,${\displaystyle f(u)=\exp _{b}(u)}$,${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} :\Re (u)>-2\}}$. тетрация ${\displaystyle \mathrm {tet} _{b}}$ тогда ${\displaystyle (C,~0\!\rightarrow \!1)}$ сверхфункция ${\displaystyle \exp _{b}}$.

Функция Абеля

Основная статья: Уравнение Абеля

Обратный к суперфункции при подходящем аргументе Икс можно интерпретировать как Функция Абеля, решение Уравнение Абеля,

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

и поэтому

${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\ }$

Обратная функция, когда она определена, равна

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),}$

для подходящих доменов и диапазонов, если они существуют. Рекурсивное свойство S тогда самоочевидно.

На рисунке слева показан пример перехода от${\displaystyle \exp ^{1}\!=\!\exp }$ к${\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!\ln }$.Итерированная функция ${\displaystyle \exp ^{z}}$ против реального аргумента строится для${\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}$. В тетрациональный и ArcTetrational использовались как суперфункции${\displaystyle S}$ и функция Абеля ${\displaystyle A}$ экспоненты. На рисунке справа эти функции показаны в комплексной плоскости. При неотрицательном целом числе итераций повторяющаяся экспонента представляет собой вся функция; при нецелочисленных значениях он имеет два точки разветвления, которые соответствуют фиксированная точка ${\displaystyle L}$ и${\displaystyle L^{*}}$ натурального логарифма. В ${\displaystyle z\!\geq \!0}$, функция ${\displaystyle \exp ^{z}~(x)}$ останки голоморфный по крайней мере в полосе ${\displaystyle |\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3}$ вдоль действительной оси.

Приложения суперфункций и функций Абеля

Суперфункции, обычно сверхэкспоненты, предлагаются как быстрорастущая функция для обновления плавающая точка представление чисел в компьютерах. Такой апгрейд значительно расширил бы диапазон огромных чисел, которые все еще отличимы от бесконечности.

Другие приложения включают вычисление дробных итераций (или дробных степеней) функции. Любую голоморфную функцию можно отождествить с функция передачи, а затем можно рассмотреть его суперфункции и соответствующие функции Абеля.

Нелинейная оптика

При исследовании нелинейного отклика оптических материалов образец должен быть оптически тонким таким образом, чтобы интенсивность света не сильно менялась при прохождении через него. Затем можно рассмотреть, например, поглощение как функцию интенсивности. Однако при небольшом изменении интенсивности в образце точность измерения поглощения как функции интенсивности невысока. Восстановление суперфункции по передаточной функции позволяет работать с относительно толстыми образцами, повышая точность измерений. В частности, передаточная функция аналогичного образца, который наполовину тоньше, может быть интерпретирована как квадратный корень (т.е. полу-итерация) передаточной функции исходного образца.

Аналогичный пример предлагается для нелинейного оптического волокна.^[5]

Нелинейная акустика

Возможно, имеет смысл охарактеризовать нелинейности затухания ударных волн в однородной трубе. Это могло бы найти применение в каком-нибудь усовершенствованном глушителе, использующем нелинейные акустические эффекты для отвода энергии звуковых волн без нарушения потока газа. Опять же, анализ нелинейного отклика, то есть передаточной функции, может быть усилен суперфункцией.

Испарение и конденсация

При анализе конденсации можно рассматривать рост (или испарение) небольшой капли жидкости, поскольку она диффундирует вниз по трубке с некоторой однородной концентрацией пара. В первом приближении при фиксированной концентрации пара масса падение на выходе можно интерпретировать как функция передачи от входной массы. Квадратный корень этой передаточной функции будет характеризовать трубку половинной длины.

Снежная лавина

Массу снежного кома, катящегося с холма, можно рассматривать как функцию от пройденного им пути. При фиксированной длине этого пути (которая может определяться высотой холма) эту массу можно также рассматривать как передаточную функцию входной массы. Масса снежного кома может быть измерена на вершине холма и внизу, давая передаточную функцию; тогда масса снежного кома как функция от пройденной им длины является суперфункцией.

Оперативный элемент

Если нужно создать рабочий элемент с заданной передаточной функцией ${\displaystyle H}$, и хочет реализовать это как последовательное соединение пары идентичных рабочих элементов, то каждый из этих двух элементов должен иметь передаточную функцию${\displaystyle h={\sqrt {H}}}$. Такая функция может быть оценена через суперфункцию и функцию Абеля передаточной функции ${\displaystyle H}$.

Рабочий элемент может иметь любое происхождение: он может быть реализован в виде электронного микрочипа, или механической пары криволинейных зерен, или некоторой асимметричной U-образной трубки, заполненной разными жидкостями, и так далее.

Рекомендации

В этой статье использованы материалы из Citizendium статья "Суперфункция "под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Непортированная лицензия но не под GFDL.

1. Логотип физического факультета МГУ. (На русском);[1]. В.П. Кандидов. О времени и о себе. (На русском)[2]. 250-летие МГУ. ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! [3]
2. Х. Кнезер (1950). "Reelle analytische L¨osungen der Gleichung" ${\displaystyle \varphi (\varphi (x))=e^{x}}$ und verwandter Funktionalgleichungen ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67.
3. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen. 3 (2): 296–322. Дои:10.1007 / BF01443992. S2CID  116998358.
4. П. Уокер (1991). «Бесконечно дифференцируемые обобщенные логарифмические и экспоненциальные функции». Математика вычислений. 57 (196): 723–733. Дои:10.1090 / S0025-5718-1991-1094963-4. JSTOR  2938713.
5. Д.Кузнецов. (2009). "Решения ${\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))}$ в комплексе ${\displaystyle z}$самолет". Математика вычислений. 78: 1647–1670. Дои:10.1090 / S0025-5718-09-02188-7. препринт: PDF
6. Д. Кузнецов, Х. Траппманн. Суперфункции и квадратный корень из факториала. Вестник Московского университета., 2010, т.65, №1, с.6-12. (Препринт ИЛС ОДК, 2009:[4] )

внешняя ссылка

• Суперфункция - ТОРИ - Мизугадро, исследовательский сайт Дмитрия Кузнецова