Supertrace - Supertrace

В теории супералгебры, если А это коммутативная супералгебра, V это свободное право А-супермодуль и Т является эндоморфизм из V себе, то суперслед из Т, ул (Т) определяется следующим диаграмма трассировки:

Точнее, если мы выпишем Т в блочная матрица образуются после разложения на четные и нечетные подпространства следующим образом:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}}$

затем суперслед

ул (Т) = обычный след из Т₀₀ - обычный след Т₁₁.

Покажем, что суперслед не зависит от базиса. е₁, ..., е_п - четные базисные векторы и е_п+1, ..., е_п+q - нечетные базисные векторы. Тогда компоненты Т, которые являются элементами А, определяются как

${\displaystyle T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,}$

Оценка Т^я_j это сумма оценок Т, е_я, е_j мод 2.

Смена основы на е_1', ..., е_п', е_(п+1)', ..., е_(п+q)' дается суперматрица

${\displaystyle \mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}}$

и обратная суперматрица

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,}$

где конечно, AA⁻¹ = А⁻¹А = 1 (личность).

Теперь мы можем явно проверить, что суперслед независимая от основы. В случае, когда Т четно, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

В случае, когда Т странно, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

Обычная трассировка не зависит от базиса, поэтому соответствующая трасса для использования в Z₂-градуированная настройка - суперслед.

Суперслед удовлетворяет свойству

${\displaystyle \operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})}$

для всех Т₁, Т₂ в конце (V). В частности, суперслед суперкоммутатора равен нулю.

Фактически, можно определить суперслед в более общем виде для любой ассоциативной супералгебры E над коммутативной супералгеброй А как линейное отображение tr: E -> А которое обращается в нуль на суперкоммутаторах.^[1] Такой суперслед не определяется однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на элемент А.

Приложения для физики

В суперсимметричных квантовых теориях поля, в которых интеграл действия инвариантен относительно набора преобразований симметрии (известных как преобразования суперсимметрии), чьи алгебры являются супералгебрами, суперслед имеет множество приложений. В таком контексте суперслед массовой матрицы для теории может быть записан как сумма по спинам следов массовых матриц для частиц с различным спином:^[2]

${\displaystyle \operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].}$

В теориях без аномалий, где в суперпотенциале появляются только перенормируемые члены, можно показать, что указанный суперслед обращается в нуль, даже когда суперсимметрия спонтанно нарушается.

Вклад в эффективный потенциал, возникающий в одной петле (иногда называемый потенциалом Коулмана-Вайнберга^[3]) также можно записать в терминах суперследа. Если ${\displaystyle M}$ матрица масс для данной теории, однопетлевой потенциал можно записать как

${\displaystyle V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}}$

куда ${\displaystyle m_{B}}$ и ${\displaystyle m_{F}}$ - соответствующие трехуровневые матрицы масс для отдельных бозонных и фермионных степеней свободы в теории и ${\displaystyle \Lambda }$ это шкала отсечения.

Смотрите также

• Березинский

Рекомендации

1. Н. Берлин, Э. Гетцлер, М. Вернь, Тепловые ядра и операторы Дирака, Springer-Verlag, 1992, ISBN  0-387-53340-0, п. 39.
2. Мартин, Стивен П. (1998). «Праймер супесимметрии». Перспективы суперсимметрии. World Scientific. стр.1–98. arXiv:hep-ph / 9709356. Дои:10.1142/9789812839657_0001. ISBN  978-981-02-3553-6. ISSN  1793-1339.
3. Коулман, Сидней; Вайнберг, Эрик (1973-03-15). «Радиационные поправки как причина спонтанного нарушения симметрии». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 7 (6): 1888–1910. arXiv:hep-th / 0507214. Дои:10.1103 / Physrevd.7.1888. ISSN  0556-2821.