Симметричная свертка - Symmetric convolution

В математика, симметричная свертка является специальным подмножеством свертка операции, в которых ядро свертки является симметричный через нулевую точку. Многие распространенные процессы на основе свертки, такие как Размытие по Гауссу и принимая производная сигнала в частотное пространство симметричны, и это свойство можно использовать, чтобы упростить оценку этих сверток.

Теорема свертки

В теорема свертки утверждает, что свертка в реальной области может быть представлена ​​как поточечное умножение в частотной области преобразование Фурье. поскольку преобразования синуса и косинуса связанных преобразований может применяться модифицированная версия теоремы о свертке, в которой концепция круговая свертка заменяется симметричной сверткой. Использование этих преобразований для вычисления дискретных симметричных сверток нетривиально, поскольку дискретные синусоидальные преобразования (DST) и дискретные косинусные преобразования (DCT) могут быть неожиданно несовместимы для вычисления симметричной свертки, то есть симметричная свертка может быть вычислена только между фиксированным набором совместимых преобразований.

Взаимно совместимые преобразования

Чтобы эффективно вычислить симметричную свертку, нужно знать, какой именно частотные области (которые достижимы путем преобразования реальных данных через DST или DCT) входы и выходы для свертки могут быть, а затем адаптировать симметрии преобразований к требуемой симметрии свертки.

В следующей таблице указано, какие комбинации доменов из восьми основных часто используемых DST I-IV и DCT I-IV удовлетворяют. ${displaystyle f*g=h}$ где ${displaystyle *}$ представляет собой симметричную свертку оператор. Свертка - это коммутативный оператор, и так ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ взаимозаменяемы.

ж г час DCT-I DCT-I DCT-I DCT-I DST-I DST-I DST-I DST-I -DCT-I DCT-II DCT-I DCT-II DCT-II DST-I DST-II DST-II DCT-I DST-II DST-II DST-I -DCT-II DCT-II DCT-II DCT-I DCT-II DST-II DST-I DST-II DST-II -DCT-I

ж г час DCT-III DCT-III DCT-III DCT-III DST-III DST-III DST-III DST-III -DCT-III DCT-IV DCT-III DCT-IV DCT-IV DST-III DST-IV DST-IV DCT-III DST-IV DST-IV DST-III -DCT-IV DCT-IV DCT-IV DCT-III DCT-IV DST-IV DST-III DST-IV DST-IV -DCT-III

Прямые преобразования ${displaystyle f}$, ${displaystyle g}$ и ${displaystyle h}$, с помощью указанных преобразований должно позволить вычислять симметричную свертку как точечное умножение, при этом любые избыточные неопределенные частотные амплитуды устанавливаются на ноль. Возможности симметричных сверток с участием DST и DCT V-VIII, полученных из дискретные преобразования Фурье (ДПФ) нечетного логического порядка можно определить добавлением четырех к каждому типу в приведенных выше таблицах.

Преимущества симметричных сверток

Существует ряд преимуществ для вычисления симметричных сверток в DST и DCT по сравнению с более распространенной круговой сверткой с преобразованием Фурье.

В частности, неявная симметрия задействованных преобразований такова, что требуются только данные, которые невозможно вывести посредством симметрии. Например, при использовании DCT-II для симметричного сигнала необходимо преобразовать только положительную половину DCT-II, поскольку частотная область неявно будет создавать зеркальные данные, составляющие другую половину. Это позволяет использовать более крупные ядра свертки с той же стоимостью, что и меньшие ядра, свертываемые по кругу на ДПФ. Кроме того, граничные условия, неявные в DST и DCT, создают краевые эффекты, которые часто больше соответствуют соседним данным, чем периодические эффекты, вводимые с помощью преобразования Фурье.

использованная литература

• Мартуччи, С. А. (1994). «Симметричная свертка и дискретные синусоидальные и косинусные преобразования». IEEE Trans. Сигнальный процесс. СП-42: 1038–1051. Дои:10.1109/78.295213.