Симметричное произведение алгебраической кривой - Symmetric product of an algebraic curve

В математика, то п-складывать симметричное произведение из алгебраическая кривая C это факторное пространство из п-складывать декартово произведение

C × C × ... × C

или же C^п посредством групповое действие из симметричная группа на п буквы перестановки факторов. Он существует как гладкий алгебраическое многообразие Σ^пC; если C это компактная риманова поверхность поэтому это комплексное многообразие. Его интерес по отношению к классической геометрии кривых состоит в том, что его точки соответствуют эффективные делители на C степенип, то есть, формальные суммы точек с неотрицательными целыми коэффициентами.

За C в проективная линия (скажи Сфера Римана ) Σ^пC можно отождествить с проективное пространство измеренияп.

Если грамм имеет род грамм ≥ 1, то Σ^пC тесно связаны с Якобиева многообразие J из C. Точнее для п принимая значения до грамм они образуют последовательность приближений к J снизу: их изображения в J под дополнением на J (видеть тета-делитель ) иметь размер п и залить J, с некоторыми идентификациями, вызванными специальные делители.

За грамм = п имеем Σ^граммC фактически бирационально эквивалентный к J; якобиан - это дует симметричного произведения. Это означает, что на уровне функциональные поля можно построить J принимая линейно непересекающийся копии функционального поля C, а в их композитум принимая фиксированное подполе симметрической группы. Это источник Андре Вайль техника построения J как абстрактное разнообразие из «бирациональных данных». Другие способы построения J, например как Разновидность пикара, сейчас предпочтительнее (Грег В. Андерсон (Успехи в математике 172 (2002) 169–205) предоставили элементарную конструкцию в виде строк матриц). Но это означает, что для любой рациональной функции F на C

F(Икс₁) + ... + F(Икс_грамм)

имеет смысл как рациональная функция на J, для Икс_я держаться подальше от полюсов F.

За N > грамм отображение из Σ^пC к J добавлением волокон это поверх J; когда п достаточно большой (примерно в два раза грамм) это становится проективное пространство связка ( Связка Пикар). Это было подробно изучено, например, Кемпфом и Мукаи.

Числа Бетти и эйлерова характеристика симметричного произведения

Позволять C быть гладким и проективным по роду грамм над комплексными числами C. Числа Бетти б_я(Σ^пC) симметричного произведения имеют вид

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {i = 0} ^ {2n} b_ {i} ( Sigma ^ {n} C) y ^ {n} u ^ {in } = { frac {(1 + y) ^ {2g}} {(1-uy) (1-u ^ {- 1} y)}}}

и топологическая эйлерова характеристика е(Σ^пC) определяется выражением

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} e ( Sigma ^ {n} C) p ^ {n} = (1-p) ^ {2g-2}.}

Здесь мы установили ты= -1 и у = - п в формуле перед.

Симметричное произведение алгебраической кривой - Symmetric product of an algebraic curve

Числа Бетти и эйлерова характеристика симметричного произведения

Рекомендации