Тейлора – Куэтта - Taylor–Couette flow - Wikipedia

Настройка системы Тейлора – Куэтта

В динамика жидкостей, то Тейлора – Куэтта состоит из вязкой жидкости, заключенной в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами. Для малых угловых скоростей, измеренных Число Рейнольдса Re, поток устойчивый и чисто азимутальный. Этот основное состояние известен как круговой Поток Куэтта, после Морис Мари Альфред Куэтт, который использовал это экспериментальное устройство как средство измерения вязкость. сэр Джеффри Ингрэм Тейлор исследовал устойчивость течения Куэтта в новаторской работе.^[1] Работа Тейлора стала краеугольным камнем в развитии гидродинамическая устойчивость теории и продемонстрировал, что условие противоскольжения, которое в то время оспаривалось научным сообществом, было правильным граничным условием для вязких течений на твердой границе.

Тейлор показал, что, когда угловая скорость внутреннего цилиндра увеличивается выше определенного порога, течение Куэтта становится нестабильным, и возникает вторичное установившееся состояние, характеризующееся осесимметричными тороидальными вихрями, известными как Вихрь Тейлора поток, всплывает. Впоследствии, при увеличении угловой скорости цилиндра, система претерпевает прогрессию нестабильности, которая приводит к состояниям с большей пространственно-временной сложностью, при этом следующее состояние называется волнистый вихревой поток. Если два цилиндра вращаются в противоположном направлении, тогда спиральный вихревой поток возникает. За пределами определенного числа Рейнольдса наступает турбулентность.

Круговой поток Куэтта находит широкое применение от опреснения до магнитогидродинамика а также в вискозиметрическом анализе. Различные режимы течения были классифицированы на протяжении многих лет, включая закрученные вихри Тейлора и волнистые границы оттока. Это хорошо изученный и задокументированный поток в гидродинамике.^[2]

Описание потока

Простое течение Тейлора – Куэтта - это устойчивый поток, созданный между двумя вращающимися бесконечно длинными соосными цилиндрами.^[3] Поскольку длины цилиндров бесконечно велики, поток в установившемся режиме по существу является однонаправленным. Если внутренний цилиндр с радиусом ${\displaystyle R_{1}}$ вращается с постоянной угловой скоростью ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и внешний цилиндр радиусом ${\displaystyle R_{2}}$ вращается с постоянной угловой скоростью ${\displaystyle \Omega _{2}}$ как показано на рисунке, тогда составляющая азимутальной скорости определяется выражением^[4]

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

куда

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$.

Критерий Рэлея^[5]

Лорд Рэйли^[6][7] исследовал устойчивость задачи с невязким предположением, т. е. возмущающим Уравнения Эйлера. Критерий гласит, что при отсутствии вязкости необходимое и достаточное условие распределения азимутальной скорости ${\displaystyle v_{\theta }(r)}$ быть стабильным

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

везде в интервале; и, кроме того, что распределение неустойчиво, если ${\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$ должно уменьшаться в любом месте интервала. С ${\displaystyle |rv_{\theta }|}$ представляет угловой момент на единицу массы жидкого элемента вокруг оси вращения, альтернативный способ определения критерия: стратификация углового момента вокруг оси устойчива тогда и только тогда, когда она монотонно увеличивается наружу.

Вихрь Тейлора

Линии тока, показывающие вихри Тейлора – Куэтта в радиально-вертикальной плоскости, при Re = 950

Вихри Тейлора (также названные в честь сэра Джеффри Ингрэм Тейлор ) находятся вихри образуется во вращающемся потоке Тейлора – Куэтта, когда Число Тейлора (${\displaystyle \mathrm {Ta} }$) потока превышает критическое значение ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$.

Для потока, в котором

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

нестабильность в потоке нет, т. е. возмущения потока гасятся за счет сил вязкости, и течение устойчиво. Но, как ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$ превышает ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$появляются осесимметричные неустойчивости. Природа этих нестабильностей - это обмен устойчивости (а не сверхстабильность), и в результате возникает не турбулентность, а, скорее, стабильная вторичная структура потока, при которой в потоке образуются большие тороидальные вихри, накладываемые друг на друга. . Это вихри Тейлора. В то время как механика жидкости исходного потока неустойчивы, когда ${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$, новый поток называется Поток Тейлора – Куэттас присутствующими вихрями Тейлора, фактически устойчив, пока поток не достигнет большого Число Рейнольдса, в этот момент поток переходит в нестационарный «волнистый вихрь», что, вероятно, указывает на наличие неосесимметричных неустойчивостей.

Идеализированная математическая задача ставится путем выбора конкретного значения ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \eta }$, и ${\displaystyle \mathrm {Ta} }$. В качестве ${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$ и ${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$ снизу критическое число Тейлора равно ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$^{[4][8][9][10][11]}⁠⁠

Круговой эксперимент Голлуба – Суинни Куэтта

В 1975 г. Дж. П. Голлуб и Х. Л. Суинни опубликовал статью о возникновении турбулентности во вращающейся жидкости. В системе потока Тейлора – Куэтта они заметили, что по мере увеличения скорости вращения жидкость расслаивается и образует кучу «жидких пончиков». При дальнейшем увеличении скорости вращения пончики колеблются и скручиваются и, наконец, становятся турбулентными.^[12] Их исследование помогло установить Сценарий Рюэля – Такенса в турбулентности,^[13] что является важным вкладом Флорис Такенс и Дэвид Рюэлль к пониманию того, как гидродинамические системы переходят от стабильных режимов течения к турбулентным. Хотя главным определяющим фактором этого перехода является Число Рейнольдса, существуют и другие важные влияющие факторы: если поток открытый (имеется в виду боковой поток вверх и вниз по потоку) или закрыт (поток ограничен в боковом направлении; например, вращающийся), и ограниченный (под влиянием эффектов стенок) или неограниченный (не подверженный влиянию настенные эффекты). Согласно этой классификации течение Тейлора – Куэтта является примером структуры потока, формирующейся в замкнутой системе с ограниченными потоками.

Рекомендации

1. Тейлор, Джеффри И. (1923). «Устойчивость вязкой жидкости, заключенной между двумя вращающимися цилиндрами». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера. 223 (605–615): 289–343. Bibcode:1923РСПТА.223..289Т. Дои:10.1098 / рста.1923.0008. JSTOR  91148.
2. Андерек, К.; Liu, S.S .; Суинни, Х. (1986). «Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами». Журнал гидромеханики. 164: 155–183. Bibcode:1986JFM ... 164..155A. Дои:10.1017 / S0022112086002513.
3. Дразин, Филип Г.; Рид, Уильям Хилл (2004). Гидродинамическая устойчивость. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-52541-1.
4. Дэйви (1962). «Рост вихрей Тейлора в потоке между вращающимися цилиндрами». Журнал гидромеханики. 14 (3): 336–368. Дои:10.1017 / S0022112062001287.
5. Чандрасекар, Субраманян. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Курьерская корпорация, 2013 г.
6. Рэйли, лорд. «Об устойчивости или нестабильности определенных движений жидкости. Научные статьи, 3.» (1880): 594-596.
7. Рэйли, лорд. «О динамике вращающихся жидкостей». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащие статьи математического и физического характера 93.648 (1917): 148-154.
8. Weisberg, A. Y .; Кеврекидис, И.Г.; Смитс, А. Дж. (1997). «Запаздывающий переход в потоке Тейлора – Куэтта с осевым движением внутреннего цилиндра». Журнал гидромеханики. 348: 141–151. Дои:10.1017 / S0022112097006630.
9. Такеда, Ю. (1999). «Квазипериодическое состояние и переход к турбулентности во вращающейся системе Куэтта». Журнал гидромеханики. 389 (1): 81–99. Bibcode:1999JFM ... 389 ... 81 т. Дои:10.1017 / S0022112099005091.
10. Wereley, S.T .; Люптоу Р. М. (1999). «Поле скоростей течения Тейлора – Куэтта с осевым потоком». Физика жидкостей. 11 (12): 3637–3649. Bibcode:1999PhFl ... 11,3637 Вт. Дои:10.1063/1.870228.
11. Marques, F .; Lopez, J.M .; Шен, Дж. (2001). «Периодически принудительный поток, демонстрирующий нарушение симметрии через бифуркацию склейки с тремя ториями и резонансы с двумя ториями». Physica D: нелинейные явления. 156 (1–2): 81–97. Bibcode:2001Фид..156 ... 81М. CiteSeerX  10.1.1.23.8712. Дои:10.1016 / S0167-2789 (01) 00261-5.
12. Gollub, J. P .; Суинни, Х. Л. (1975). «Возникновение турбулентности во вращающейся жидкости». Письма с физическими проверками. 35 (14): 927–930. Bibcode:1975ПхРвЛ..35..927Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.35.927.
13. Гукенхаймер, Джон (1983). «Странные аттракторы в гидродинамике». Динамическая система и хаос. Конспект лекций по физике. 179. Springer Berlin. С. 149–156. Дои:10.1007/3-540-12276-1_10. ISBN  978-3-540-12276-0.

дальнейшее чтение

• Chossat, P .; Йосс, Г. (1992). Проблема Куэтта – Тейлора. Прикладные математические науки. 102. Springer. Дои:10.1007/978-1-4612-4300-7. ISBN  978-0387941547.
• Кошмидер, Э. Л. (1993). Ячейки Бенара и вихри Тейлора. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-40204-0.