Гидродинамическая устойчивость - Hydrodynamic stability

Простая схема перехода от устойчивого течения к турбулентному. а) стабильный, б) турбулентный

В динамика жидкостей, гидродинамическая устойчивость это поле который анализирует устойчивость и возникновение нестабильность из жидкость потоки. Изучение гидродинамической устойчивости направлено на выяснение того, является ли данный поток стабильным или нестабильным, и если да, то как эти нестабильности вызовут развитие турбулентность.^[1] Основы гидродинамической устойчивости, как теоретические, так и экспериментальные, были заложены прежде всего Гельмгольца, Кельвин, Рэлей и Рейнольдс в девятнадцатом веке.^[1] Эти основы дали много полезных инструментов для изучения гидродинамической устойчивости. К ним относятся Число Рейнольдса, то Уравнения Эйлера, а Уравнения Навье – Стокса. При изучении устойчивости потока полезно понимать более упрощенные системы, например несжимаемые и невязкие жидкости, которые затем могут быть преобразованы в более сложные потоки.^[1] С 1980-х годов для моделирования и анализа более сложных потоков используется больше вычислительных методов.

Устойчивые и нестабильные потоки

Чтобы различать различные состояния потока жидкости, необходимо учитывать, как жидкость реагирует на возмущение в исходном состоянии.^[2] Эти нарушения будут относиться к начальным свойствам системы, таким как скорость, давление, и плотность. Джеймс Клерк Максвелл Красиво выразил качественную концепцию стабильного и нестабильного течения, когда сказал:^[1]

"когда бесконечно малое изменение текущего состояния изменит только на бесконечно малую величину состояние в какое-то время в будущем, состояние системы, будь то в состоянии покоя или в движении, называется стабильным, но когда бесконечно малое изменение текущее состояние может вызвать конечную разницу в состоянии системы за конечное время, система называется нестабильной ».

Это означает, что для стабильный потока, любое бесконечно малое изменение, которое считается возмущением, не окажет заметного влияния на начальное состояние системы и со временем утихнет.^[2] Чтобы поток жидкости считался стабильным, он должен быть устойчивым по отношению ко всем возможным возмущениям. Это означает, что не существует Режим нарушения, для которого оно нестабильно.^[1]

С другой стороны, для неустойчивый потока, любые изменения будут иметь заметное влияние на состояние системы, которое затем вызовет рост возмущения по амплитуде таким образом, что система постепенно уйдет из исходного состояния и никогда не вернется в него.^[2] Это означает, что существует по крайней мере один режим возмущения, по отношению к которому поток является нестабильным, и поэтому возмущение нарушит существующее равновесие сил.^[3]

Определение стабильности потока

Число Рейнольдса

Ключевым инструментом, используемым для определения устойчивости потока, является Число Рейнольдса (Re), впервые выдвинутый Джордж Габриэль Стоукс в начале 1850-х гг. Связана с Осборн Рейнольдс кто развил эту идею в начале 1880-х годов, это безразмерное число дает отношение инерционный сроки и вязкий термины.^[4] В физическом смысле это число представляет собой отношение сил, возникающих из-за количества движения жидкости (инерционные члены), и сил, возникающих из-за относительного движения различных слоев текущей жидкости (вязкие члены). Уравнение для этого:^[2]

${displaystyle R_{e}={frac { ext{inertial}}{ ext{viscous}}}={frac {ho u^{2}}{frac {mu u}{L}}}={frac {ho uL}{mu }}={frac {uL}{u }}}$

куда

${displaystyle ho ={ ext{density}}}$

${displaystyle { ext{u}}={ ext{velocity of the fluid flow}}}$

${displaystyle mu ={ ext{dynamic viscosity}}}$ - измеряет сопротивление жидкости сдвиговым потокам

${displaystyle { ext{L}}={ ext{characteristic length}}}$

${displaystyle u ={ ext{kinematic viscosity}}={frac {mu }{ho }}}$ - измеряет отношение динамической вязкости к плотности жидкости

Число Рейнольдса полезно, потому что оно может обеспечить точки отсечения, когда поток стабильный или нестабильный, а именно критическое число Рейнольдса. ${displaystyle R_{c}}$. По мере его увеличения амплитуда возмущения, которое затем может привести к нестабильности, становится меньше.^[1] При высоких числах Рейнольдса считается, что потоки жидкости будут нестабильными. Высокое число Рейнольдса может быть достигнуто несколькими способами, например если ${displaystyle mu }$ это небольшое значение или если ${displaystyle ho }$ и ${displaystyle { ext{u}}}$ высокие ценности.^[2] Это означает, что неустойчивости возникнут практически сразу, и поток станет нестабильным или турбулентным.^[1]

Уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности.

Чтобы аналитически найти устойчивость потоков жидкости, полезно отметить, что гидродинамическая устойчивость имеет много общего с устойчивостью в других областях, таких как магнитогидродинамика, физика плазмы и эластичность; хотя физика в каждом случае разная, математика и используемые методы схожи. Существенная проблема моделируется нелинейным уравнения в частных производных и стабильность известных устойчивый и неустойчивый решения рассматриваются.^[1] Определяющими уравнениями для почти всех задач гидродинамической устойчивости являются Уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности. Уравнение Навье – Стокса определяется следующим образом:^[1]

${displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot abla )mathbf {u} -u ,abla ^{2}mathbf {u} =-abla p_{0}+mathbf {b} .}$

куда

• ${displaystyle mathbf {u} ={ ext{velocity field of fluid}}}$
• ${displaystyle p_{0}={ ext{pressure of fluid}}}$
• ${displaystyle mathbf {b} ={ ext{body force acting on fluid e.g gravity}}}$
• ${displaystyle u ={ ext{kinematic viscosity}}}$
• ${displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}={ ext{partial derivative of the velocity field with respect to time}}}$
• ${displaystyle abla =left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}ight)}$

Здесь ${displaystyle abla }$ используется как оператор воздействуя на поле скорости в левой части уравнения, а затем действуя на давление в правой части.

а уравнение неразрывности задается следующим образом:

${displaystyle {frac {Dmathbf {ho } }{Dt}}+ho ,abla cdot mathbf {u} =0}$

куда

• ${displaystyle {frac {Dmathbf {ho } }{Dt}}={ ext{material derivative of the density}}}$

Еще раз ${displaystyle abla }$ используется как оператор на ${displaystyle mathbf {u} }$ и рассчитывает расхождение скорости.

но если рассматриваемая жидкость несжимаемый, что означает, что плотность постоянна, то ${displaystyle {frac {Dmathbf {ho } }{Dt}}=0}$ и поэтому:

${displaystyle abla cdot mathbf {u} =0}$

Предположение о несжимаемости потока является правильным и применимо к большинству жидкостей, движущихся с большинством скоростей. Именно допущения такой формы помогут упростить уравнение Навье – Стокса до дифференциальных уравнений, таких как уравнение Эйлера, с которыми легче работать.

Уравнение Эйлера

Если рассматривать поток, который является невязким, здесь вязкие силы малы и, следовательно, ими можно пренебречь в расчетах, то мы придем к Уравнения Эйлера:

${displaystyle {frac {partial mathbf {u} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot abla )mathbf {u} =-abla p_{0}}$

Хотя в данном случае мы предположили, что жидкость является невязкой, это предположение не выполняется для потоков, где есть граница. Наличие границы вызывает некоторую вязкость на пограничный слой которым нельзя пренебрегать, и мы возвращаемся к уравнению Навье – Стокса. Нахождение решений этих основных уравнений при различных обстоятельствах и определение их устойчивости является фундаментальным принципом при определении устойчивости самого потока жидкости.

Анализ линейной устойчивости

Чтобы определить, является ли течение стабильным или нестабильным, часто используют метод линейного анализа устойчивости. В этом типе анализа основные уравнения и граничные условия линеаризуются. Это основано на том факте, что понятие «стабильный» или «нестабильный» основано на бесконечно малом возмущении. Для таких возмущений разумно предположить, что возмущения с разными длинами волн развиваются независимо. (Нелинейное управляющее уравнение позволит возмущениям с разными длинами волн взаимодействовать друг с другом.)

Анализ стабильности потока

Смотрите также: Уравнение Орра – Зоммерфельда. и Уравнение Рэлея

Теория бифуркации

Теория бифуркации - полезный способ изучения устойчивости данного потока с учетом изменений, происходящих в структуре данной системы. Гидродинамическая устойчивость - это серия дифференциальных уравнений и их решений. Бифуркация возникает, когда небольшое изменение параметров системы вызывает качественное изменение ее поведения,^[1]. Параметр, который изменяется в случае гидродинамической устойчивости, - это число Рейнольдса. Можно показать, что возникновение бифуркаций совпадает с возникновением нестабильностей.^[1]

Лабораторные и вычислительные эксперименты

Лабораторные эксперименты - очень полезный способ получения информации о данном потоке без использования более сложных математических методов. Иногда физическое наблюдение за изменением потока во времени так же полезно, как и численный подход, и любые результаты этих экспериментов могут быть связаны с основной теорией. Экспериментальный анализ также полезен, потому что он позволяет очень легко изменять управляющие параметры, и их эффекты будут видны.

Когда имеешь дело с более сложными математическими теориями, такими как теория бифуркаций и слабо нелинейная теория, численное решение таких задач становится очень трудным и требует много времени, но с помощью компьютеров этот процесс становится намного проще и быстрее. С 1980-х годов вычислительный анализ становится все более и более полезным, совершенствование алгоритмов, которые могут решать основные уравнения, такие как уравнение Навье – Стокса, означает, что их можно более точно интегрировать для различных типов потоков.

Приложения

Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца

Это изображение, сделанное в Сан-Франциско, показывает картину, похожую на "океанскую волну", связанную с нестабильностью Кельвина-Гельмгольца, формирующейся в облаках.

В Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца (KHI) - это приложение гидродинамической устойчивости, которое можно увидеть в природе. Это происходит, когда две жидкости текут с разными скоростями. Разница в скорости жидкости вызывает скорость сдвига на интерфейс двух слоев.^[3] Скорость сдвига одной движущейся жидкости вызывает напряжение сдвига на другом, который, если больше, чем сдерживающий поверхностное натяжение, то приводит к нестабильности на границе раздела между ними.^[3] Это движение вызывает появление серии опрокидывающихся океанских волн, характерных для неустойчивости Кельвина – Гельмгольца. Действительно, кажущаяся волновая природа океана является примером вихрь формации, которые образуются, когда жидкость вращается вокруг некоторой оси, и часто связаны с этим явлением.

Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца можно увидеть в полосах планетных атмосфер, таких как Сатурн и Юпитер, например, в гигантском вихре красных пятен. В атмосфере, окружающей гигантское красное пятно, есть самый большой известный пример KHI, который вызван поперечной силой на границе раздела различных слоев атмосферы Юпитера. Было сделано много снимков, на которых отчетливо видны характеристики, подобные океанским волнам, обсуждавшиеся ранее, с видимыми до 4 слоев сдвига.^[5]

Метеорологические спутники используют эту нестабильность для измерения скорости ветра над большими водоемами. Волны генерируются ветром, который срезает воду на границе раздела между ней и окружающим воздухом. Компьютеры на борту спутников определяют шероховатость океана, измеряя высоту волны. Это делается с помощью радар, где радиосигнал передается на поверхность и регистрируется задержка отраженного сигнала, известная как «время полета». Благодаря этому метеорологи могут понять движение облаков и ожидаемую турбулентность воздуха возле них.

Неустойчивость Рэлея – Тейлора.

Это двухмерная модель неустойчивости Рэлея – Тейлора, возникающей между двумя жидкостями. В этой модели красная жидкость - сначала вверху, а затем внизу - представляет более плотную жидкость, а синяя жидкость - менее плотная.

В Неустойчивость Рэлея – Тейлора. - это еще одно приложение гидродинамической устойчивости, которое также происходит между двумя жидкостями, но на этот раз плотности жидкостей различаются.^[6] Из-за разницы в плотностях две жидкости будут пытаться уменьшить их совокупное потенциальная энергия.^[7] Менее плотная жидкость будет делать это, пытаясь пробиться вверх, а более плотная жидкость будет пытаться пробиться вниз.^[6] Следовательно, есть две возможности: если более легкая жидкость находится сверху, граница раздела считается стабильной, но если более тяжелая жидкость находится сверху, тогда равновесие системы неустойчиво к любым возмущениям на границе раздела. В этом случае обе жидкости начнут смешиваться.^[6] Как только небольшое количество более тяжелой жидкости вытесняется вниз с равным объемом более легкой жидкости вверх, потенциальная энергия теперь ниже, чем в исходном состоянии,^[7] поэтому возмущение будет расти и приведет к турбулентному течению, связанному с неустойчивостями Рэлея – Тейлора.^[6]

Это явление можно увидеть на межзвездный газ, такой как Крабовидная туманность. Он выталкивается из Галактический самолет к магнитные поля и космические лучи а затем становится нестабильным по Рэлея-Тейлора, если он выходит за пределы своего нормального высота шкалы.^[6] Эта нестабильность также объясняет грибовидное облако который образуется в таких процессах, как извержения вулканов и атомные бомбы.

Неустойчивость Рэлея – Тейлора оказывает большое влияние на климат Земли. Ветры, доносящиеся с побережья Гренландия и Исландия вызывают испарение с поверхности океана, над которым они проходят, увеличивая соленость океанской воды у поверхности и делая воду у поверхности более плотной. Затем это генерирует перья которые управляют Океанские течения. Этот процесс действует как тепловой насос, транспортирующий теплую экваториальную воду на север. Без опрокидывания океана, Северная Европа вероятно столкнется с резким падением температуры.^[6]

Смотрите также

• Список гидродинамических неустойчивостей
• Ламинарно-турбулентный переход
• Стабильность плазмы
• Теорема Сквайра
• Поток Тейлора – Куэтта

Примечания

1. См. Дразин (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость
2. См. Чандрасекар (1961) «Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость».
3. См. В.Шанкар - Кафедра химического машиностроения ИИТ Канпур (2014), «Введение в гидродинамическую устойчивость»
4. См. J.Happel, H.Brenner (2009, 2-е издание) "Гидродинамика низкого числа Рейнольдса"
5. См. Письма в астрофизическом журнале, том 729, вып. 1 (2009), «Магнитная неустойчивость Кельвина – Гельмгольца на Солнце»
6. См. J.Oakley (2004), «Заметки о нестабильности Рэлея – Тейлора».
7. См. A.W.Cook, D.Youngs (2009), «Неустойчивость и перемешивание Рэлея – Тейлора».

Рекомендации

• Дразин, П. (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-00965-2
• Чандрасекхар, С. (1961), Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость, Дувр, ISBN  978-0-486-64071-6
• Чарру, Ф. (2011), Гидродинамические неустойчивости, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1139500548
• Godreche, C .; Manneville, P., eds. (1998), Гидродинамика и нелинейные неустойчивости, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521455039
• Лин, К. (1966), Теория гидродинамической устойчивости (исправленный ред.), Cambridge University Press, OCLC  952854
• Swinney, H.L .; Голлуб, Дж. П. (1985), Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-13319-3
• Happel, J .; Бреннер, Х. (2009), Гидродинамика низкого числа Рейнольдса (2-е изд.), ISBN  978-9024728770
• Foias, C .; Manley, O .; Rosa, R .; Теман, Р. (2001), Уравнения Навье – Стокса и турбулентность., Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-8126509430
• Пантон, Р.Л. (2006), Несжимаемый поток (3-е изд.), Wiley India, ISBN  978-8126509430
• Джонсон, Джей Р .; Крыло, Саймон; Деламер, Питер А. (2014), "Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца в планетных магнитосферах", Обзоры космической науки, 184 (1–4): 1–31, Bibcode:2014ССРв..184 .... 1J, Дои:10.1007 / s11214-014-0085-z

внешняя ссылка

• «Неустойчивость потока». Национальный комитет пленок для механики жидкостей (NCFMF). Получено 9 марта 2009.
• «Сеть с использованием передовых методов нестабильности (AIM)». разные авторы. Архивировано из оригинал 21 февраля 2015 г.. Получено 12 мая 2013.
• Шанкар, В (2014). «Введение в гидродинамическую устойчивость» (PDF). Кафедра математики, ИИТ Канпур. Получено 31 октября 2015.