Вихрь Тейлора – Грина - Taylor–Green vortex

В гидродинамике Вихрь Тейлора – Грина неустойчивый поток затухающего вихрь, которая имеет точное решение в замкнутой форме несжимаемой Уравнения Навье – Стокса в Декартовы координаты. Он назван в честь британского физика и математика. Джеффри Ингрэм Тейлор и его сотрудник А. Э. Грин.^[1]

Векторный график вихря Тейлора-Грина

Оригинальная работа

В оригинальной работе Тейлора и Грина^[1] конкретный поток анализируется в трех пространственных измерениях с тремя составляющими скорости ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,w)}$ вовремя ${\displaystyle t=0}$ указано

${\displaystyle u=A\cos ax\sin by\sin cz,}$

${\displaystyle v=B\sin ax\cos by\sin cz,}$

${\displaystyle w=C\sin ax\sin by\cos cz.}$

Уравнение неразрывности ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ определяет, что ${\displaystyle Aa+Bb+Cc=0}$. Тогда малое поведение потока во времени находится путем упрощения несжимаемые уравнения Навье – Стокса использование начального потока для получения пошагового решения с течением времени.

Известно точное решение в двух пространственных измерениях, которое представлено ниже.

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса.

В несжимаемые уравнения Навье – Стокса в отсутствие сила тела, а в двух пространственных измерениях задаются

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).}$

Первое из приведенных выше уравнений представляет собой уравнение неразрывности а два других представляют собой уравнения импульса.

Вихревой раствор Тейлора – Грина.

В домене ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 2\pi }$, решение дается формулой

${\displaystyle u=\cos x\sin y\,F(t),\qquad \qquad v=-\sin x\cos y\,F(t),}$

где ${\displaystyle F(t)=e^{-2\nu t}}$, ${\displaystyle \nu }$ будучи кинематическая вязкость жидкости. После анализа Тейлора и Грина^[1] для двумерной ситуации, а для ${\displaystyle A=a=b=1}$, дает согласие с этим точным решением, если экспоненту разложить как Серия Тейлор, т.е. ${\displaystyle F(t)=1-2\nu t+O(t^{2})}$.

Поле давления ${\displaystyle p}$ может быть получен путем подстановки решения скорости в уравнения импульса и дается выражением

${\displaystyle p=-{\frac {\rho }{4}}\left(\cos 2x+\cos 2y\right)F^{2}(t).}$

В функция потока решения вихря Тейлора – Грина, т. е. удовлетворяющего ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$ для скорости потока ${\displaystyle \mathbf {v} }$, является

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-\cos x\cos yF(t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.}$

Точно так же завихренность, что удовлетворяет ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=\nabla \times \mathbf {v} }$, дан кем-то

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=-2\cos x\cos y\,F(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$

Решение вихрей Тейлора – Грина может быть использовано для тестирования и подтверждения временной точности алгоритмов Навье – Стокса.^[2][3]

использованная литература

1. Тейлор, Г.И. и Грин, А.Э., Механизм образования мелких вихрей из крупных., Proc. R. Soc. Лондон. А, 158, 499–521 (1937).
2. Чорин, А., Численное решение уравнений Навье – Стокса., Математика. Comp. 22, 745–762 (1968).
3. Ким, Дж.. и Мойн, П., Применение метода дробных шагов к несжимаемым уравнениям Навье – Стокса, J. Comput. Phys. 1985. Т. 59. С. 308–323.