Теорема Тейлора – Праудмена - Taylor–Proudman theorem

В механика жидкости, то Теорема Тейлора – Праудмена (после Джеффри Ингрэм Тейлор и Джозеф Праудмен ) утверждает, что когда твердое тело^{[требуется разъяснение ]} медленно перемещается в жидкости, которая постоянно вращается с высокой угловая скорость ${\displaystyle \Omega }$, жидкость скорость будет однородным по любой линии, параллельной оси вращения. ${\displaystyle \Omega }$ должен быть большим по сравнению с движением твердого тела, чтобы Сила Кориолиса большой по сравнению с условиями разгона.

Вывод

В Уравнения Навье – Стокса для установившегося потока, с нулевым вязкость и объемная сила, соответствующая силе Кориолиса, равны

${\displaystyle \rho ({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {F} }-\nabla p,}$

где ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ - скорость жидкости, ${\displaystyle \rho }$ - плотность жидкости, а ${\displaystyle p}$ давление. Если предположить, что ${\displaystyle F=\nabla \Phi =-2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }}$ это скалярный потенциал и адвективный термином слева можно пренебречь (разумно, если Число Россби намного меньше единицы) и что поток несжимаемый (плотность постоянна), уравнения принимают следующий вид:

${\displaystyle 2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }=-\nabla p,}$

где ${\displaystyle \Omega }$ это угловая скорость вектор. Если завиток этого уравнения берется результат теоремы Тейлора – Праудмена:

${\displaystyle ({\mathbf {\Omega } }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {0} }.}$

Чтобы вывести это, нужно векторные тождества

${\displaystyle \nabla \times (A\times B)=A(\nabla \cdot B)-(A\cdot \nabla )B+(B\cdot \nabla )A-B(\nabla \cdot A)}$

и

${\displaystyle \nabla \times (\nabla p)=0\ }$

и

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0\ }$

(поскольку завиток градиента всегда равна нулю). ${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {\Omega } }=0}$ также необходимо (угловая скорость без расходимости).

Векторная форма теоремы Тейлора – Праудмена, возможно, лучше понять, расширив скалярное произведение:

${\displaystyle \Omega _{x}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial x}}+\Omega _{y}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial y}}+\Omega _{z}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0.}$

В координатах, для которых ${\displaystyle \Omega _{x}=\Omega _{y}=0}$, уравнения сводятся к

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0,}$

если ${\displaystyle \Omega _{z}\neq 0}$. Таким образом, все три компоненты вектора скорости однородны вдоль любой линии, параллельной оси z.

Колонка Тейлора

Основная статья: Колонка Тейлора

В Колонка Тейлора представляет собой воображаемый цилиндр, спроецированный над и под реальным цилиндром, который расположен параллельно оси вращения (в любом месте потока, не обязательно в центре). Поток будет изгибаться вокруг воображаемых цилиндров точно так же, как и реальный из-за теоремы Тейлора – Праудмана, которая утверждает, что поток во вращающейся, однородной, невязкой жидкости является двумерным в плоскости, ортогональной оси вращения, и поэтому нет изменение потока по ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ ось, часто принимаемая за ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ось.

Колонка Тейлора - это упрощенный экспериментально наблюдаемый эффект того, что происходит в атмосфере и океанах Земли.

История

Результат, известный как теорема Тейлора-Праудмана, был впервые получен Сиднеем Сэмюэлем Хафом (1870-1923), математиком из Кембриджского университета, в 1897 году.^[1]:506[2] Праудмен опубликовал другой вывод в 1916 году и Тейлор в 1917 году, затем этот эффект был экспериментально продемонстрирован Тейлором в 1923 году.^{[3]:648[4]:245[5][6]}

использованная литература

1. Гилл, Адриан Э. (2016). Атмосфера - динамика океана. Эльзевир. ISBN  9781483281582.
2. Хаф, С.С. (1 января 1897 г.). «О применении гармонического анализа к динамической теории приливов и отливов. Часть I. О« колебаниях первого вида »Лапласа и о динамике океанских течений». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А. 189: 201–257. Bibcode:1897RSPTA.189..201H. Дои:10.1098 / rsta.1897.0009.
3. Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Чжоу, М.-Д. (2006). Завихренность и вихревая динамика. Берлин: Springer. ISBN  9783540290285.
4. Лонгэр, Малкольм (2016). Неизменное наследие Максвелла: научная история лаборатории Кавендиша. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781316033418.
5. Праудмен, Дж. (1 июля 1916 г.). «О движении твердых тел в жидкости, обладающей завихренностью». Proc. R. Soc. Лондон. А. 92: 408–424. Bibcode:1916RSPSA..92..408P. Дои:10.1098 / RSPA.1916.0026.
6. Тейлор, Г. (1 марта 1917 г.). «Движение твердых тел в жидкостях, когда поток не является безвихревым». Proc. R. Soc. Лондон. А. 93: 92–113. Bibcode:1917RSPSA..93 ... 99Т. Дои:10.1098 / RSPA.1917.0007.