Дисперсия Тейлора - Taylor dispersion

Дисперсия Тейлора это эффект в механика жидкости в котором сдвиговый поток может увеличить эффективный диффузионность вида. По сути, сдвиг действует, размывая распределение концентрации в направлении потока, увеличивая скорость его распространения в этом направлении.^[1][2][3] Эффект назван в честь британского специалиста по гидродинамике. Г. И. Тейлор, который описал дисперсию, вызванную сдвигом, для больших Числа Пекле. Позднее анализ был обобщен Резерфорд Арис для произвольных значений Число Пекле. Процесс диспергирования иногда также называют Дисперсия Тейлора-Ариса.

Канонический пример - простой распространяющийся вид в униформе.Поток Пуазейля через однородную круглую трубу с условиями отсутствия потока.

Описание

Мы используем z как осевая координата и р в качестве радиальной координаты и предполагаем осесимметрию. Труба имеет радиус а, а скорость жидкости равна:

${displaystyle {oldsymbol {u}}=w{hat {oldsymbol {z}}}=w_{0}(1-r^{2}/a^{2}){hat {oldsymbol {z}}}}$

В концентрация диффундирующего вида обозначается c и этодиффузионность является D. Предполагается, что концентрация определяется линейным уравнение адвекции-диффузии:

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}+{oldsymbol {w}}cdot {oldsymbol {abla }}c=Dabla ^{2}c}$

Концентрация и скорость записываются как сумма среднего поперечного сечения (обозначено чертой сверху) и отклонения (обозначено штрихом), таким образом:

${displaystyle w(r)={ar {w}}+w'(r)}$

${displaystyle c(r,z)={ar {c}}(z)+c'(r,z)}$

При некоторых предположениях (см. Ниже) можно вывести уравнение, включающее только средние величины:

${displaystyle {frac {partial {ar {c}}}{partial t}}+{ar {w}}{frac {partial {ar {c}}}{partial z}}=Dleft(1+{frac {a^{2}{ar {w}}^{2}}{48D^{2}}}ight){frac {partial ^{2}{ar {c}}}{partial z^{2}}}}$

Обратите внимание, как эффективный коэффициент диффузии, умноженный на производную справа, больше, чем исходное значение коэффициента диффузии D. Эффективный коэффициент диффузии часто записывается как:

${displaystyle D_{mathrm {eff} }=Dleft(1+{frac {{mathit {Pe}}^{2}}{48}}ight),,}$

куда ${displaystyle {mathit {Pe}}=a{ar {w}}/D}$ это Число Пекле, исходя из радиуса канала ${displaystyle a}$. Интересный результат заключается в том, что при больших значениях числа Пекле эффективный коэффициент диффузии обратно пропорционален молекулярному коэффициенту диффузии. Таким образом, эффект дисперсии Тейлора более выражен при более высоких числах Пекле.

В системе, движущейся со средней скоростью, т. Е. Введя ${displaystyle xi =z-{ar {w}}t}$, процесс диспергирования становится чисто диффузионным,

${displaystyle {frac {partial {ar {c}}}{partial t}}=D_{mathrm {eff} }{frac {partial ^{2}{ar {c}}}{partial xi ^{2}}}}$

с коэффициентом диффузии, определяемым эффективным коэффициентом диффузии.

Предполагается, что ${displaystyle c'll {ar {c}}}$ для данного ${displaystyle z}$, что имеет место, если масштаб длины в ${displaystyle z}$ направление достаточно длинное, чтобы сгладить градиент в ${displaystyle r}$ направление. Это можно перевести в требование, чтобы шкала длины ${displaystyle L}$ в ${displaystyle z}$ направление удовлетворяет:

${displaystyle Lgg {frac {a^{2}}{D}}{ar {w}}=a{mathit {Pe}}}$.

Дисперсия также зависит от геометрии канала. Например, интересным явлением является то, что дисперсия потока между двумя бесконечными плоскими пластинами и прямоугольным каналом, который является бесконечно тонким, отличается примерно в 8,75 раза. Здесь очень маленькие боковые стенки прямоугольного канала имеют огромное влияние на дисперсию.

Хотя точная формула неприменима в более общих обстоятельствах, механизм все еще применяется, и эффект сильнее при более высоких числах Пекле. Дисперсия Тейлора особенно важна для потоков в пористая среда смоделированный Закон Дарси.

Рекомендации

1. Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика.
2. Чанг, Х.С., Йео, Л. (2009). Электрокинетически управляемая микрофлюидика и нанофлюидика. Издательство Кембриджского университета.
3. Кирби, Б.Дж. (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: перенос в микрофлюидных устройствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11903-0.

Другие источники

• Арис, Р. (1956) О диспергировании растворенного вещества в жидкости, протекающей через трубку, Proc. Рой. Soc. А., 235, 67–77.
• Франкель И. и Бреннер Х. (1989) Об основах обобщенной теории дисперсии Тейлора, J. Fluid Mech., 204, 97–119.
• Тейлор, Г. И. (1953) Дисперсия растворимого вещества в растворителе, медленно протекающем через трубку, Proc. Рой. Soc. А., 219, 186–203.
• Тейлор, Г. И. (1954) Дисперсия вещества в турбулентном потоке через трубу, Proc. Рой. Soc. А, 223, 446–468.
• Тейлор, Г. И. (1954) Условия, при которых дисперсия растворенного вещества в потоке растворителя может использоваться для измерения молекулярной диффузии, Proc. Рой. Soc. А., 225, 473–477.
• Бреннер, Х. (1980) Дисперсия, возникающая в результате течения через пространственно-периодические пористые среды, Фил. Пер. Рой. Soc. Lon. А, 297, 81.
• Местел. Дж. Дисперсия Тейлора - диффузия, усиленная сдвигом, Раздаточный материал лекции для курса M4A33, Императорский колледж.