Временная дискретизация - Temporal discretization - Wikipedia

Временная дискретизация это математический метод, применяемый к преходящий проблемы, возникающие в области прикладной физики и техники.

Переходные проблемы часто решаются путем моделирования с использованием компьютерная инженерия (CAE), требующие дискретизирующий определяющие уравнения как в пространстве, так и во времени. Такие проблемы нестабильны (например, проблемы с потоком ), и поэтому требуются решения, в которых положение меняется в зависимости от времени. Временная дискретизация включает интеграция каждого члена в различных уравнениях за временной шаг (Δт).

Пространственная область может быть дискретизирована для получения полудискретной формы:^[1]

{ displaystyle { frac { partial varphi} { partial t}} (x, t) = F ( varphi). ~}

Если дискретизация выполняется с использованием обратные отличия, временная дискретизация первого порядка задается как:^[2]

{ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi),}

И второго порядка дискретизация дается как:

{ displaystyle { frac {3 varphi ^ {n + 1} -4 varphi ^ {n} + varphi ^ {n-1}} {2 Delta t}} = F ( varphi),}

куда

φ = а скаляр количество.

п + 1 = значение на следующем временном уровне, т + Δт.

п = значение на текущем временном уровне, т.

п - 1 = значение на предыдущем временном уровне, т - Δт.

Функция F ( ${ displaystyle varphi}$ ) оценивается с использованием неявного и явного интегрирования по времени.^[3]

Описание

Временная дискретизация осуществляется через интеграция с течением времени по общему дискретизированному уравнению. Во-первых, значения при заданном контрольном объеме п в интервале времени т принимаются, а затем находится значение на временном интервале t + Δt. Этот метод утверждает, что интеграл по времени заданной переменной равен средневзвешенному между текущими и будущими значениями. В интеграл форму уравнения можно записать как:

{ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = е cdot F ( varphi ^ {n + 1}) + (1-f) cdot F ( varphi ^ {n}),}

куда ƒ это вес от 0 до 1.

ƒ = 0,0 приводит к полностью явная схема.

ƒ = 1.0 приводит к полностью неявная схема.

ƒ = 0,5 приводит к Схема Кранка-Николсона.

Для любого контрольного объема это интегрирование справедливо для любой дискретизированной переменной. Следующее уравнение получается при применении к основному уравнению, включая полностью дискретизированное распространение, конвекция, и источник термины.^[4]

{ displaystyle int limits _ {t} ^ {t + Delta t} F ( varphi) , dt = [f cdot F _ { varphi} ^ {t + Delta t} + (1-f) cdot F _ { varphi} ^ {t}] , Delta t}

Методы оценки функции F ( ${ displaystyle varphi}$ )

После дискретизации производной по времени функция F ( ${ displaystyle varphi}$ ) еще предстоит оценить. Теперь функция вычисляется с использованием неявной и явной интеграции по времени.^[5]

Неявная интеграция во времени

Этот метод оценивает функцию F( ${ displaystyle varphi}$ ) в будущем.

Формулировка

Оценка с использованием неявного интегрирования по времени дается как:

{ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi ^ {n + 1}),}

Это называется неявной интеграцией, поскольку ${ Displaystyle varphi ^ {п + 1}}$ в данной ячейке связано с ${ displaystyle varphi ^ {n}}$ в соседних камерах через ${ Displaystyle F ( varphi ^ {п + 1})}$ :

{ displaystyle varphi ^ {n + 1} = varphi ^ {n} + Delta tF ( varphi ^ {n + 1}),}

В случае неявного метода установка безусловно устойчива и может обрабатывать большой временной шаг (Δт). Но стабильность не означает точность. Следовательно, большие Δт влияет на точность и определяет временное разрешение. Но поведение может включать в себя физические временные рамки, которые необходимо решить.

Явная интеграция по времени

Этот метод оценивает функцию F ( ${ displaystyle varphi}$ ) в текущее время.

Формулировка

Оценка с использованием интеграции с явным временем дается как:

{ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi ^ {n}),}

И называется явной интеграцией, поскольку ${ Displaystyle varphi ^ {п + 1}}$ можно явно выразить в существующих значениях решения, ${ displaystyle varphi ^ {n}}$ :

{ displaystyle varphi ^ {n + 1} = varphi ^ {n} + Delta t , F ( varphi ^ {n}),}

Здесь шаг по времени (Δт) ограничен пределом устойчивости решателя (т.е. шаг по времени ограничен Условие Куранта – Фридрихса – Леви.. Чтобы быть точным по времени, во всем домене должен использоваться один и тот же временной шаг, а для обеспечения стабильности временной шаг должен быть минимальным из всех локальных временных шагов в домене. Этот метод также называют «глобальным временным шагом».

Примеры

Во многих схемах используется интеграция с явным временем. Вот некоторые из них:

Временная дискретизация - Temporal discretization - Wikipedia

Содержание

Описание