Теорема Бертини - Theorem of Bertini

В математика, то теорема Бертини является теоремой существования и общности гладких связных сечения гиперплоскости для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутые поля, представлен Эухенио Бертини. Это простейшая и самая широкая из «теорем Бертини», применимая к линейная система делителей; самый простой, потому что нет ограничений на характеристика основного поля, а расширения требуют характеристики 0.^[1]^[2]

Утверждение для гиперплоских сечений гладких многообразий

Позволять Икс - гладкое квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, вложенное в проективное пространство ${displaystyle mathbf {P} ^ {n}}$ .Позволять ${displaystyle | H |}$ обозначить полная система делителей гиперплоскостей в ${displaystyle mathbf {P} ^ {n}}$ . Напомним, что это двойное пространство ${displaystyle (mathbf {P} ^ {n}) ^ {звезда}}$ из ${displaystyle mathbf {P} ^ {n}}$ и изоморфен ${displaystyle mathbf {P} ^ {n}}$ .

Теорема Бертини утверждает, что множество гиперплоскостей, не содержащих Икс и с плавным пересечением с Икс содержит открытое плотное подмножество полной системы дивизоров ${displaystyle | H |}$ . Сам набор открыт, если Икс проективно. Если ${displaystyle dim (X) geq 2}$ , то эти пересечения (называемые гиперплоскими сечениями Икс) связаны, а значит, неприводимы.

Таким образом, теорема утверждает, что a Общее сечение гиперплоскости не равно Икс является гладким, то есть свойство гладкости является общим.

Над произвольным полем k, существует плотное открытое подмножество двойственного пространства ${displaystyle (mathbf {P} ^ {n}) ^ {звезда}}$ чей рациональные точки определить гиперплоскости гладкие гиперплоские сечения Икс. Когда k бесконечно, тогда это открытое подмножество имеет бесконечно много рациональных точек и бесконечное количество гладких гиперплоских сечений в Икс.

Над конечным полем указанное выше открытое подмножество может не содержать рациональных точек, и в общем случае не существует гиперплоскостей с гладким пересечением с Икс. Однако если взять гиперповерхности достаточно больших степеней, то теорема Бертини верна.^[3]

Схема доказательства

Мы рассматриваем субфибрацию ассортимента продукции ${displaystyle X imes | H |}$ с волокном выше ${displaystyle xin X}$ линейная система гиперплоскостей, пересекающих Икс не-поперечно в Икс.

Ранг расслоения в произведении на единицу меньше коразмерности ${displaystyle Xsubset mathbf {P} ^ {n}}$ , так что общее пространство имеет меньшую размерность, чем ${displaystyle n}$ и поэтому его проекция содержится в делителе полной системы ${displaystyle | H |}$ .

Общее утверждение

Над любым бесконечным полем ${displaystyle k}$ характеристики 0, если Икс гладкая квазипроективная ${displaystyle k}$ -разновидность, общий член линейная система делителей на Икс гладко от базовый локус системы. Для пояснения это означает, что для линейной системы ${displaystyle f: Xightarrow mathbf {P} ^ {n}}$ , прообраз ${displaystyle f ^ {- 1} (H)}$ гиперплоскости ЧАС гладкая - вне базового локуса ж - для всех гиперплоскостей ЧАС в некотором плотном открытом подмножестве двойственного проективного пространства ${displaystyle (mathbf {P} ^ {n}) ^ {звезда}}$ . Эта теорема верна и в характеристике p> 0, когда линейная система ж неразветвленный. ^[4]

Обобщения

Теорема Бертини была обобщена по-разному. Например, результат из-за Стивен Клейман утверждает следующее (ср. Теорема Клеймана ): для подключенного алгебраическая группа грамм, и любые однородный грамм-разнообразие Икс, и две разновидности Y и Z отображение на Икс, позволять Y^σ - многообразие, полученное положением σ ∈ грамм действовать на Y. Тогда существует открытая плотная подсхема ЧАС из грамм такое, что для σ ∈ ЧАС, ${displaystyle Y ^ {sigma} imes _ {X} Z}$ либо пусто, либо чисто из (ожидаемого) измерение тусклый Y + тусклый Z - тусклый Икс. Если, кроме того, Y и Z находятся гладкий; плавный а базовое поле имеет нулевую характеристику, то ЧАС можно взять так, что ${displaystyle Y ^ {sigma} imes _ {X} Z}$ гладко для всех ${displaystyle sigma in H}$ , также. Приведенная выше теорема Бертини представляет собой частный случай, когда ${displaystyle X = mathbb {P} ^ {n}}$ выражается как частное от SL_п посредством параболическая подгруппа верхнетреугольных матриц, Z является подмногообразием и Y это гиперплоскость.^[5]