Топологическая алгебра - Topological algebra

В математика, а топологическая алгебра ${\displaystyle A}$ является алгебра и в то же время топологическое пространство, где алгебраическая и топологическая структуры согласованы в определенном смысле.

Определение

А топологическая алгебра ${\displaystyle A}$ через топологическое поле ${\displaystyle K}$ это топологическое векторное пространство вместе с билинейным умножением

${\displaystyle \cdot :A\times A\to A}$,

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

это превращается ${\displaystyle A}$ в алгебра над ${\displaystyle K}$ и является непрерывный в каком-то определенном смысле. Обычно непрерывность умножения выражается одним из следующих (неэквивалентных) требований:

• совместная преемственность:^[1] для каждого район нуля ${\displaystyle U\subseteq A}$ есть окрестности нуля ${\displaystyle V\subseteq A}$ и ${\displaystyle W\subseteq A}$ такой, что ${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$ (другими словами, это условие означает, что умножение непрерывно как отображение между топологическими пространствами ${\displaystyle A\times A\to A}$), или же
• преемственность стереотипов:^[2] для каждого вполне ограниченное множество ${\displaystyle S\subseteq A}$ и для каждой окрестности нуля ${\displaystyle U\subseteq A}$ есть окрестность нуля ${\displaystyle V\subseteq A}$ такой, что ${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$ и ${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$, или же
• раздельная непрерывность:^[3] для каждого элемента ${\displaystyle a\in A}$ и для каждой окрестности нуля ${\displaystyle U\subseteq A}$ есть окрестность нуля ${\displaystyle V\subseteq A}$ такой, что ${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$ и ${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$.

(Разумеется, совместная преемственность предполагает преемственность стереотипов, а преемственность стереотипов предполагает отдельную преемственность.) В первом случае ${\displaystyle A}$ называется "топологическая алгебра с совместно непрерывным умножением", и в последнем"с отдельно непрерывным умножением".

Единый ассоциативный топологическую алгебру (иногда) называют топологическое кольцо.

История

Термин был придуман Дэвид ван Данциг; это фигурирует в названии его докторская диссертация (1931).

Примеры

1. Алгебры Фреше являются примерами ассоциативных топологических алгебр с совместно непрерывным умножением.

2. Банаховы алгебры являются частными случаями Алгебры Фреше.

3. Стереотипные алгебры являются примерами ассоциативных топологических алгебр со стереотипным непрерывным умножением.

Примечания

1. Бекенштейн, Наричи и Суффель 1977 г.. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFBeckensteinNariciSuffel1977 (помощь)
2. Акбаров 2003.
3. Маллиос 1986.

внешняя ссылка

• Топологическая алгебра в nLab

Рекомендации

• Beckenstein, E .; Narici, L .; Суэль, К. (1977). Топологические алгебры. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080871356.
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук. 113 (2): 179–349. Дои:10.1023 / А: 1020929201133.
• Маллиос, А. (1986). Топологические алгебры. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080872353.
• Балачандран, В. (2000). Топологические алгебры. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080543086.
• Fragoulopoulou, M. (2005). Топологические алгебры с инволюцией. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780444520258.