Расстояние трассировки - Trace distance

В квантовая механика, и особенно квантовая информация и изучение открытые квантовые системы, то расстояние трассировки Т это метрика на пространстве матрицы плотности и дает меру различимости между двумя состояниями. Это квантовое обобщение Расстояние Колмогорова для классических вероятностных распределений.

Определение

Расстояние трассировки составляет лишь половину норма следа разности матриц:

${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right].}$

(Нормой следа является Норма Шаттена для п= 1.) Цель множителя два состоит в том, чтобы ограничить расстояние следа между двумя нормализованными матрицами плотности до диапазона [0, 1] и упростить формулы, в которых появляется расстояние следа.

Поскольку матрицы плотности Эрмитский,

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{2}}}\right]={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|,}$

где ${\displaystyle \lambda _{i}}$ являются собственными значениями эрмитовой, но не обязательно положительной матрицы ${\displaystyle (\rho -\sigma )}$.

Физическая интерпретация

Используя двойственность Гёльдера для Нормы Шаттена, расстояние следа можно записать в вариационной форме как ^[1]

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

Что касается его классического аналога, расстояние следа можно связать с максимальной вероятностью различения двух квантовых состояний:

Например, предположим Алиса готовит систему в любом государстве ${\displaystyle \rho }$ или ${\displaystyle \sigma }$, каждая с вероятностью ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ и отправляет его Бобу, который должен различать два состояния с помощью двоичного измерения. Пусть Боб назначит результат измерения ${\displaystyle 0}$ и POVM элемент ${\displaystyle P_{0}}$ как результат ${\displaystyle 1}$ и элемент POVM ${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$ идентифицировать состояние ${\displaystyle \rho }$ или ${\displaystyle \sigma }$соответственно. Его ожидаемая вероятность правильного определения входящего состояния тогда определяется выражением

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

Следовательно, при применении оптимального измерения Боб имеет максимальную вероятность

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

правильного определения того, в каком состоянии Алиса подготовила систему.^[2].

Свойства

Расстояние трассировки имеет следующие свойства^[1]

• Это метрика на пространстве матриц плотности, т.е. она неотрицательна, симметрична и удовлетворяет условию неравенство треугольника, и ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$ и ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$ если и только если ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ иметь ортогональные опоры
• Он сохранен под унитарные преобразования: ${\displaystyle T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )}$
• Сжимается под сохраняющие след CP карты, т.е. если ${\displaystyle \Phi }$ является CPT-отображением, то ${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• Он выпуклый на каждом из входов. Например. ${\displaystyle T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )}$

Для кубиты, расстояние следа равно половине Евклидово расстояние в Представление Блоха.

Связь с другими мерами расстояния

Верность

В верность двух квантовых состояний ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$ связано с расстоянием следа ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )}$ неравенством

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

Неравенство верхней границы превращается в равенство, когда ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ находятся чистые состояния. [Обратите внимание, что определение Fidelity, используемое здесь, является квадратом того, что используется в Nielsen и Chuang]

Общее расстояние вариации

Расстояние следа является обобщением общее расстояние вариации, а для двух коммутирующих матриц плотности имеет то же значение, что и полное расстояние изменения двух соответствующих распределений вероятностей.

использованная литература

1. Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2010). «9. Дистанционные меры для квантовой информации». Квантовые вычисления и квантовая информация (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-00217-3. OCLC  844974180.
2. С. М. Барнетт, "Квантовая информация", Oxford University Press, 2009, глава 4