POVM - POVM

В функциональный анализ и квантовая теория измерения, а положительная операторнозначная мера (POVM) это мера чьи ценности положительные полуопределенные операторы на Гильбертово пространство. POVM - это обобщение проекционно-оценочные меры (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

По грубой аналогии, POVM для PVM то, что смешанное состояние к чистое состояние. Смешанные состояния необходимы, чтобы указать состояние подсистемы более крупной системы (см. очищение квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективных измерений, выполняемых в более крупной системе.

POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовая теория поля.^[1] Они широко используются в области квантовая информация.

Определение

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих на конечномерном Гильбертово пространство, POVM - это набор положительный полуопределенный матрицы ${displaystyle {F_{i}}}$ в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {H}}}$ эта сумма к единичная матрица,^[2]:90

${displaystyle sum _{i=1}^{n}F_{i}=operatorname {I} .}$

В квантовой механике элемент POVM ${displaystyle F_{i}}$ связан с результатом измерения ${displaystyle i}$, такое, что вероятность его получения при измерении на квантовое состояние ${displaystyle ho }$ дан кем-то

${displaystyle { ext{Prob}}(i)=operatorname {tr} (ho F_{i})}$,

куда ${displaystyle operatorname {tr} }$ это след оператор. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием ${displaystyle |psi angle }$ эта формула сводится к

${displaystyle { ext{Prob}}(i)=operatorname {tr} (|psi angle langle psi |F_{i})=langle psi |F_{i}|psi angle }$.

Простейший случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональные проекторы ${displaystyle {Pi _{i}}}$ эта сумма к единичная матрица:

${displaystyle sum _{i=1}^{N}Pi _{i}=operatorname {I} ,quad Pi _{i}Pi _{j}=delta _{ij}Pi _{i}.}$

Формулы вероятности для PVM такие же, как и для POVM. Важное отличие состоит в том, что элементы POVM не обязательно ортогональны. Как следствие, количество элементов ${displaystyle n}$ POVM может быть больше, чем размерность гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, количество элементов ${displaystyle N}$ ПВМ не более чем размерность гильбертова пространства.

В общем, POVM также можно определить в ситуациях, когда количество элементов и размерность гильбертова пространства не конечны:

Определение. Позволять ${displaystyle (X,M)}$ быть измеримое пространство; то есть ${displaystyle M}$ это σ-алгебра подмножеств ${displaystyle X}$. POVM - это функция ${displaystyle F}$ определено на ${displaystyle M}$ значения которых являются ограниченными неотрицательными самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {H}}}$ такой, что ${displaystyle F(X)=operatorname {I} _{mathcal {H}}}$ и для каждого ${displaystyle psi in {mathcal {H}}}$,

${displaystyle Emapsto langle F(E)psi mid psi angle ({ ext{for every }}Ein M)}$

неотрицательный счетно аддитивный мера на σ-алгебре ${displaystyle M}$.

Его ключевое свойство состоит в том, что он определяет вероятностную меру в пространстве результатов, так что ${displaystyle langle F(E)psi mid psi angle }$ можно интерпретировать как вероятность (плотность) исхода ${displaystyle E}$ при измерении квантового состояния ${displaystyle |psi angle }$.

Это определение следует противопоставить определению проекционно-оценочная мера, что аналогично, за исключением того, что для проекционно-значных мер значения ${displaystyle F}$ должны быть операторами проекции.

Теорема Наймарка о дилатации

Основная статья: Теорема Наймарка о дилатации

Примечание. Альтернативное написание этого слова - «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка о дилатации^[3] показывает, как POVM могут быть получены из PVM, действующих на большем пространстве. Этот результат имеет решающее значение для квантовой механики, так как он позволяет физически реализовать измерения POVM.^[4]:285

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве, теорема Наймарка утверждает, что если ${displaystyle {F_{i}}_{i=1}^{n}}$ является POVM, действующим в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {H}}_{A}}$ измерения ${displaystyle d_{A}}$, то существует ПВМ ${displaystyle {Pi _{i}}_{i=1}^{n}}$ действующий в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {H}}_{A'}}$ измерения ${displaystyle d_{A'}}$ и изометрия ${displaystyle V:{mathcal {H}}_{A} o {mathcal {H}}_{A'}}$ такой, что для всех ${displaystyle i}$

${displaystyle F_{i}=V^{dagger }Pi _{i}V}$

Один из способов построения такой ПВМ и изометрии^[5][6] это позволить ${displaystyle {mathcal {H}}_{A'}={mathcal {H}}_{A}otimes {mathcal {H}}_{B}}$, ${displaystyle Pi _{i}=operatorname {I} _{A}otimes |iangle langle i|_{B}}$, и

${displaystyle V=sum _{i=1}^{n}{sqrt {F_{i}}}_{A}otimes {|iangle }_{B}}$

Обратите внимание, что в этой конструкции размерность большего гильбертова пространства ${displaystyle {mathcal {H}}_{A'}}$ дан кем-то ${displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$. Это не минимально возможное, поскольку более сложная конструкция дает ${displaystyle d_{A'}=n}$ (при условии, что ${displaystyle ngeq d_{A}}$). ^[4]:285

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации POVM, расширив изометрию ${displaystyle V}$ в унитарный ${displaystyle U}$, то есть нахождение ${displaystyle U}$ такой, что

${displaystyle V=U(operatorname {I} _{A}otimes |0angle _{B}).}$

Это всегда можно сделать. Рецепт реализации измерения POVM, описанный ${displaystyle {F_{i}}_{i=1}^{n}}$ на квантовом состоянии ${displaystyle ho }$ затем подготовить помощницу в государстве ${displaystyle |0angle _{B}}$, развивайте его вместе с ${displaystyle ho }$ через унитарный ${displaystyle U}$, и сделайте проективное измерение на вспомогательной, описанной PVM ${displaystyle {|iangle langle i|_{B}}_{i=1}^{n}}$. Тогда легко увидеть, что вероятность получения результата ${displaystyle i}$ с этим методом такая же, как и вероятность его получения с исходным POVM. То есть,

${displaystyle { ext{Prob}}(i)=operatorname {tr} (ho F_{i})=operatorname {tr} left(operatorname {I} _{A}otimes |iangle langle i|_{B}left[Uho _{A}otimes |0angle langle 0|_{B}U^{dagger }ight]ight).}$

Состояние после измерения

Состояние после измерения определяется не самим POVM, а скорее PVM, который его физически реализует. Поскольку существует бесконечно много разных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы ${displaystyle {F_{i}}_{i=1}^{n}}$ сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что для любого унитарного ${displaystyle W}$ операторы

${displaystyle M_{i}=W{sqrt {F_{i}}}}$

также будет иметь свойство, которое ${displaystyle M_{i}^{dagger }M_{i}=F_{i}}$, так что с помощью изометрии

${displaystyle V_{W}=sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}otimes {|iangle }_{B}}$

в приведенной выше конструкции также будет реализован тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии ${displaystyle |psi angle _{A}}$, получившаяся унитарная ${displaystyle U_{W}}$ принимает это вместе с анциллой, чтобы заявить

${displaystyle U_{W}(|psi angle _{A}|0angle _{B})=sum _{i=1}^{n}M_{i}|psi angle _{A}|iangle _{B},}$

и проективное измерение на вспомогательной обрушится ${displaystyle |psi angle _{A}}$ государству^[2]:84

${displaystyle |psi 'angle _{A}={frac {M_{i_{0}}|psi angle }{sqrt {langle psi |M_{i_{0}}^{dagger }M_{i_{0}}|psi angle }}}}$

по получению результата ${displaystyle i_{0}}$. Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности ${displaystyle ho _{A}}$, соответствующее состояние после измерения определяется выражением

${displaystyle ho '_{A}={M_{i_{0}}ho M_{i_{0}}^{dagger } over {m {tr}}(M_{i_{0}}ho M_{i_{0}}^{dagger })}}$.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарного ${displaystyle W}$.

Еще одно отличие от проективных измерений заключается в том, что измерение POVM, как правило, не воспроизводится. Если по первому результату измерения ${displaystyle i_{0}}$ было получено, вероятность получения другого результата ${displaystyle i_{1}}$ при втором измерении

${displaystyle { ext{Prob}}(i_{1}|i_{0})={operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}ho M_{i_{0}}^{dagger }M_{i_{1}}^{dagger }) over {m {tr}}(M_{i_{0}}ho M_{i_{0}}^{dagger })}}$,

которое может быть ненулевым, если ${displaystyle M_{i_{0}}}$ и ${displaystyle M_{i_{1}}}$ не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяется.

Пример: однозначная дискриминация квантовых состояний

Сфера Блоха представление состояний (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначной дискриминации квантовых состояний по состояниям ${displaystyle |psi angle =|0angle }$ и ${displaystyle |varphi angle =(|0angle +|1angle )/{sqrt {2}}}$. Отметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны.

Предположим, у вас есть квантовая система измерения 2, которая, как вы знаете, находится в состоянии ${displaystyle |psi angle }$ или государство ${displaystyle |varphi angle }$, и вы хотите определить, какой именно. Если ${displaystyle |psi angle }$ и ${displaystyle |varphi angle }$ ортогональны, задача простая: множество ${displaystyle {|psi angle langle psi |,|varphi angle langle varphi |}}$ будет формировать PVM, и проективное измерение на этой основе с уверенностью определит состояние. Если, однако, ${displaystyle |psi angle }$ и ${displaystyle |varphi angle }$ не ортогональны, эта задача невозможно, в том смысле, что не существует измерения, ни PVM, ни POVM, которое определило бы их различие.^[2]:87 Невозможность полностью различать неортогональные состояния является основой для квантовая информация протоколы, такие как квантовая криптография, квантовая монета подбрасывает, и квантовые деньги.

Задача однозначной дискриминации квантовых состояний (UQSD) - следующая лучшая вещь: никогда не ошибиться в том, является ли состояние ${displaystyle |psi angle }$ или же ${displaystyle |varphi angle }$ценой иногда получения неубедительного результата. Эту задачу нельзя выполнить с помощью проективного измерения, потому что нам нужно иметь три результата: ${displaystyle psi }$, ${displaystyle varphi }$, и неубедительные, и проективные измерения в измерении 2 могут иметь не более двух результатов.

POVM, который дает наивысшую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется выражением ^[7][8]

${displaystyle F_{psi }={frac {1}{1+|langle varphi |psi angle |}}|varphi ^{perp }angle langle varphi ^{perp }|}$

${displaystyle F_{varphi }={frac {1}{1+|langle varphi |psi angle |}}|psi ^{perp }angle langle psi ^{perp }|}$

${displaystyle F_{?}=operatorname {I} -F_{psi }-F_{varphi },}$

куда ${displaystyle |varphi ^{perp }angle }$ квантовое состояние ортогонально ${displaystyle |varphi angle }$, и ${displaystyle |psi ^{perp }angle }$ ортогонален ${displaystyle |psi angle }$.

Обратите внимание, что ${displaystyle operatorname {tr} (|varphi angle langle varphi |F_{psi })=operatorname {tr} (|psi angle langle psi |F_{varphi })=0}$, поэтому, когда результат ${displaystyle psi }$ мы уверены, что квантовое состояние ${displaystyle |psi angle }$, а когда исход ${displaystyle varphi }$ мы уверены, что квантовое состояние ${displaystyle |varphi angle }$.

Предполагая, что квантовая система может находиться в состоянии ${displaystyle |psi angle }$ или же ${displaystyle |varphi angle }$ с той же вероятностью вероятность окончательного результата определяется выражением

${displaystyle {frac {1}{2}}operatorname {tr} (|psi angle langle psi |F_{psi })+{frac {1}{2}}operatorname {tr} (|varphi angle langle varphi |F_{varphi })=1-|langle varphi |psi angle |.}$

Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса в честь авторов, пионеров исследования UQSD.^[9][10][11]

Используя приведенную выше конструкцию, мы можем получить проективное измерение, которое физически реализует эту POVM. Квадратные корни элементов POVM задаются формулой

${displaystyle {sqrt {F_{psi }}}={frac {1}{sqrt {1+|langle varphi |psi angle |}}}|varphi ^{perp }angle langle varphi ^{perp }|}$

${displaystyle {sqrt {F_{varphi }}}={frac {1}{sqrt {1+|langle varphi |psi angle |}}}|psi ^{perp }angle langle psi ^{perp }|}$

${displaystyle {sqrt {F_{?}}}={sqrt {frac {2|langle varphi |psi angle |}{1+|langle varphi |psi angle |}}}|gamma angle langle gamma |,}$

куда

${displaystyle |gamma angle ={frac {1}{sqrt {2(1+|langle varphi |psi angle |)}}}(|psi angle +e^{iarg(langle varphi |psi angle )}|varphi angle ).}$

Обозначая три возможных состояния анциллы как ${displaystyle |{ ext{result ?}}angle }$, ${displaystyle |{ ext{result ψ}}angle }$, ${displaystyle |{ ext{result φ}}angle }$, и инициализируя его в состоянии ${displaystyle |{ ext{result ?}}angle }$, видим, что полученная унитарная ${displaystyle U_{ ext{UQSD}}}$ принимает государство ${displaystyle |psi angle }$ вместе с анциллой

${displaystyle U_{ ext{UQSD}}(|psi angle |{ ext{result ?}}angle )={sqrt {1-|langle varphi |psi angle |}}|varphi ^{perp }angle |{ ext{result ψ}}angle +{sqrt {|langle varphi |psi angle |}}|gamma angle |{ ext{result ?}}angle ,}$

и аналогичным образом принимает состояние ${displaystyle |varphi angle }$ вместе с анциллой

${displaystyle U_{ ext{UQSD}}(|varphi angle |{ ext{result ?}}angle )={sqrt {1-|langle varphi |psi angle |}}|psi ^{perp }angle |{ ext{result φ}}angle +e^{-iarg(langle varphi |psi angle )}{sqrt {|langle varphi |psi angle |}}|gamma angle |{ ext{result ?}}angle .}$

Затем измерение на вспомогательной части дает желаемые результаты с той же вероятностью, что и POVM.

Этот POVM использовался для экспериментального различения неортогональных состояний поляризации фотона с использованием степени свободы пути в качестве вспомогательной. Реализация POVM с проективным измерением немного отличалась от описанной здесь.^[12][13]

Смотрите также

• SIC-POVM
• Квантовое измерение
• Математическая формулировка квантовой механики
• Матрица плотности
• Квантовая операция
• Прогнозно-оценочная мера
• Векторная мера

Рекомендации

1. Перес, Ашер; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики. 76 (1): 93–123. arXiv:Quant-ph / 0212023. Bibcode:2004РвМП ... 76 ... 93П. Дои:10.1103 / RevModPhys.76.93.
2. М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)
3. И. М. Гельфанд, М. А. Ноймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] Н.С. 12 (54) (1943), 197–213.
4. А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Kluwer Academic Publishers, 1993.
5. Дж. Прескилл, Конспект лекций по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture
6. Дж. Уотроус. Теория квантовой информации. Cambridge University Press, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
7. J.A. Бергоу; У. Херцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В М. Пэрис; J. eháček (ред.). Оценка квантового состояния. Springer. стр.417 –465. Дои:10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN  978-3-540-44481-7.
8. Chefles, Энтони (2000). «Дискриминация квантовых состояний». Современная физика. Informa UK Limited. 41 (6): 401–424. arXiv:Quant-ph / 0010114v1. Bibcode:2000ConPh..41..401C. Дои:10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514.
9. Иванович, И. (1987). «Как различать неортогональные состояния». Письма о физике A. Elsevier BV. 123 (6): 257–259. Bibcode:1987ФЛА..123..257И. Дои:10.1016/0375-9601(87)90222-2. ISSN  0375-9601.
10. Дикс, Д. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Письма о физике A. Elsevier BV. 126 (5–6): 303–306. Bibcode:1988ФЛА..126..303Д. Дои:10.1016/0375-9601(88)90840-7. ISSN  0375-9601.
11. Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Письма о физике A. Elsevier BV. 128 (1–2): 19. Bibcode:1988ФЛА..128 ... 19П. Дои:10.1016/0375-9601(88)91034-1. ISSN  0375-9601.
12. Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гисин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Физический обзор A. APS. 54 (5): 3783. Bibcode:1996PhRvA..54.3783H. Дои:10.1103 / PhysRevA.54.3783. PMID  9913923.
13. Р. Б. М. Кларк; А. Шефлес; С. М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимального однозначного состояния дискриминации». Физический обзор A. APS. 63 (4): 040305 (R). arXiv:Quant-ph / 0007063. Bibcode:2001PhRvA..63d0305C. Дои:10.1103 / PhysRevA.63.040305.

• POVMs
  • К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспект лекций по физике 190, Springer (1983).
  • Э. Б. Дэвис, Квантовая теория открытых систем, Academic Press (1976).
  • В КАЧЕСТВЕ. Холево, Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, North-Holland Publ. Cy., Амстердам (1982).