Теорема Наймарка о дилатации - Naimarks dilation theorem - Wikipedia

В теория операторов, Наймарк теорема о растяжении это результат, который характеризует положительные операторнозначные меры. Это можно рассматривать как следствие Теорема Стайнспринга о расширении.

Примечание

В математической литературе можно найти и другие результаты, носящие имя Наймарка.

Написание

В литературе по физике часто встречается написание «Neumark» вместо «Naimark». Последний вариант согласно латинизация русского Используется при переводе советских журналов с опущением диакритических знаков (первоначально Naĭmark). Первое соответствует этимологии фамилии.

Некоторые предварительные представления

Позволять Икс быть компактный Пространство Хаусдорфа, ЧАС быть Гильбертово пространство, и L (H) то Банахово пространство из ограниченные операторы на ЧАС. Отображение E от Борелевская σ-алгебра на Икс к ${\displaystyle L(H)}$ называется операторнозначная мера если он слабо счетно аддитивен, т.е. для любой непересекающейся последовательности борелевских множеств ${\displaystyle \{B_{i}\}}$, у нас есть

${\displaystyle \langle E(\cup _{i}B_{i})x,y\rangle =\sum _{i}\langle E(B_{i})x,y\rangle }$

для всех Икс и у. Некоторые термины для описания таких мер:

• E называется обычный если скалярная мера

${\displaystyle B\rightarrow \langle E(B)x,y\rangle }$

является регулярной борелевской мерой, то есть все компакты имеют конечную полную вариацию, и мера множества может быть аппроксимирована мерами открытых множеств.

• E называется ограниченный если ${\displaystyle |E|=\sup _{B}\|E(B)\|<\infty }$.
• E называется положительный если E (B) является положительным оператором для всех B.
• E называется самосопряженный если E (B) самосопряжен для всех B.
• E называется спектральный если он самосопряжен и ${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})E(B_{2})}$ для всех ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$.

Мы будем предполагать, что E регулярно.

Позволять С (Х) обозначим абелев C * -алгебра непрерывных функций на Икс. Если E регулярна и ограничена, она индуцирует отображение ${\displaystyle \Phi _{E}:C(X)\rightarrow L(H)}$ очевидным образом:

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle }$

Ограниченность E подразумевает, для всех час единичной нормы

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(f)h,h\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h,h\rangle \leq \|f\|_{\infty }\cdot |E|.}$

Это показывает ${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)}$ является ограниченным оператором для всех ж, и ${\displaystyle \Phi _{E}}$ само по себе также является ограниченным линейным отображением.

Свойства ${\displaystyle \Phi _{E}}$ напрямую связаны с таковыми из E:

• Если E положительно, то ${\displaystyle \Phi _{E}}$, рассматриваемое как отображение C * -алгебр, также положительно.
• ${\displaystyle \Phi _{E}}$ является гомоморфизмом, если по определению для всех непрерывных ж на Икс и ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$,

${\displaystyle \langle \Phi _{E}(fg)h_{1},h_{2}\rangle =\int _{X}f(x)\cdot g(x)\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)\Phi _{E}(g)h_{1},h_{2}\rangle .}$

Брать ж и грамм быть индикаторными функциями борелевских множеств, и мы видим, что ${\displaystyle \Phi _{E}}$ является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда E спектрально.

• Точно так же сказать ${\displaystyle \Phi _{E}}$ уважает * операционные средства

${\displaystyle \langle \Phi _{E}({\bar {f}})h_{1},h_{2}\rangle =\langle \Phi _{E}(f)^{*}h_{1},h_{2}\rangle .}$

LHS - это

${\displaystyle \int _{X}{\bar {f}}\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\rangle ,}$

а RHS - это

${\displaystyle \langle h_{1},\Phi _{E}(f)h_{2}\rangle ={\overline {\langle \Phi _{E}(f)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;{\overline {\langle E(dx)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;\langle h_{1},E(dx)h_{2}\rangle }$

Итак, взяв f последовательность непрерывных функций, возрастающих до индикаторной функции B, мы получили ${\displaystyle \langle E(B)h_{1},h_{2}\rangle =\langle h_{1},E(B)h_{2}\rangle }$, т.е. E (B) самосопряженный.

• Объединение двух предыдущих фактов дает заключение, что ${\displaystyle \Phi _{E}}$ является * -гомоморфизмом тогда и только тогда, когда E является спектральным и самосопряженным. (Когда E спектральный и самосопряженный, E считается проекционно-оценочная мера или PVM.)

Теорема Наймарка

Теорема гласит: Пусть E быть позитивным L (H)-значная мера по Икс. Существует гильбертово пространство K, ограниченный оператор ${\displaystyle V:K\rightarrow H}$, а самосопряженная спектральная L (К)-значная мера по Икс, F, так что

${\displaystyle \;E(B)=VF(B)V^{*}.}$

Доказательство

Приведем набросок доказательства. Аргумент проходит E к индуцированному отображению ${\displaystyle \Phi _{E}}$ и использует Теорема Стайнспринга о расширении. С E положительно, так же ${\displaystyle \Phi _{E}}$ как карта между C * -алгебрами, как объяснено выше. Кроме того, поскольку домен ${\displaystyle \Phi _{E}}$, С (Х), является абелевой C * -алгеброй, имеем ${\displaystyle \Phi _{E}}$ является полностью положительный. По результату Стайнспринга существует гильбертово пространство K, а * -гомоморфизм ${\displaystyle \pi :C(X)\rightarrow L(K)}$, и оператор ${\displaystyle V:K\rightarrow H}$ такой, что

${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)=V\pi (f)V^{*}.}$

Поскольку π - * -гомоморфизм, соответствующая ему оператор-мера F является спектральным и самосопряженным. Легко видеть, что F обладает желаемыми свойствами.

Конечномерный случай

В конечномерном случае есть несколько более явная формулировка.

Предположим сейчас ${\displaystyle X=\{1,\dotsc ,n\}}$, следовательно C(Икс) - конечномерная алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, и ЧАС имеет конечную размерность м. Положительная операторнозначная мера E затем назначает каждому я положительный полуопределенный м × м матрица ${\displaystyle E_{i}}$. Теорема Наймарка теперь утверждает, что существует проекционно-значная мера на Икс чье ограничение E.

Особый интерес представляет частный случай, когда ${\displaystyle \sum _{i}E_{i}=I}$ куда я - тождественный оператор. (См. Статью о POVM для соответствующих приложений.) В этом случае индуцированное отображение ${\displaystyle \Phi _{E}}$ является единым. Без ограничения общности можно предположить, что каждый ${\displaystyle E_{i}}$ проекция первого ранга на некоторую ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {C} ^{m}}$. При таких предположениях случай ${\displaystyle n<m}$ исключен, и мы должны иметь либо

1. ${\displaystyle n=m}$ и E уже является проекционно-оценочной мерой (поскольку ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i}^{*}=I}$ если и только если ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ является ортонормированным базисом),
2. ${\displaystyle n>m}$ и ${\displaystyle \{E_{i}\}}$ не состоит из взаимно ортогональных проекций.

Для второй возможности проблема поиска подходящей проекционно-значной меры теперь превращается в следующую проблему. По предположению неквадратная матрица

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{1}\cdots x_{n}\end{bmatrix}}}$

изометрия, то есть ${\displaystyle MM^{*}=I}$. Если мы сможем найти ${\displaystyle (n-m)\times n}$ матрица N куда

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}M\\N\end{bmatrix}}}$

это п × п унитарная матрица, проекционно-значная мера, элементы которой являются проекциями на векторы-столбцы U тогда будет иметь желаемые свойства. В принципе, такой N всегда можно найти.

Рекомендации

• В. Паулсен, Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры, Издательство Кембриджского университета, 2003.