SIC-POVM - SIC-POVM

в Сфера Блоха представление кубит, состояния SIC-POVM образуют правильный тетраэдр. Заунер предположил, что аналогичные структуры существуют в сложных Гильбертовы пространства всех конечных размеров.

А симметричная, информационно полная, положительная операторнозначная мера (SIC-POVM ) является частным случаем обобщенного измерение на Гильбертово пространство, используется в области квантовая механика. Измерение заданной формы удовлетворяет определенным определяющим качествам, что делает его интересным кандидатом на роль «стандартного квантового измерения», используемого при изучении фундаментальной квантовой механики, особенно в QBism. Кроме того, было показано, что приложения существуют в томография квантового состояния^[1] и квантовая криптография,^[2] и была обнаружена возможная связь с Двенадцатая проблема Гильберта.^[3]

Определение

Нерешенная проблема в математике: Существуют ли SIC-POVM во всех измерениях? (больше нерешенных задач по математике)

Благодаря использованию SIC-POVM в основном в квантовой механике, Обозначение Дирака будет использоваться в этой статье для представления элементов в Гильбертово пространство.

POVM над ${displaystyle d}$-мерное гильбертово пространство ${displaystyle {mathcal {H}}}$ это набор ${displaystyle m}$ положительно-полуопределенные операторы ${displaystyle F=left{F_{i}mid iin {1,ldots ,m}ight}}$ на гильбертовом пространстве, которые суммируются с личность:

$${displaystyle sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.}$$

Если POVM состоит как минимум из ${displaystyle d^{2}}$ операторы, которые охватывать ${displaystyle {mathcal {L}}({mathcal {H}})}$, это называется информационно полной POVM (IC-POVM). IC-POVM, состоящие ровно из ${displaystyle d^{2}}$ элементы называются минимальными. Набор ${displaystyle d^{2}}$ классифицировать -1 проекторы ${displaystyle Pi =left{Pi _{i}mid iin {1,ldots ,d^{2}}land Pi _{i}^{2}=Pi _{i}ight}}$ которые попарно равны Внутренние произведения Гильберта – Шмидта,

$${displaystyle mathrm {Tr} left(Pi _{i}Pi _{j}ight)={frac {ddelta _{ij}+1}{d+1}},}$$

определяет минимальный IC-POVM ${displaystyle F=left{F_{i}mid iin {1,ldots ,d^{2}}land F_{i}={frac {1}{d}}Pi _{i}land Pi _{i}in Pi ight}}$ называется SIC-POVM.

Характеристики

Симметрия

Условие того, что проекторы ${displaystyle Pi _{i}in Pi }$ определенные выше имеют равные попарные внутренние произведения, фактически фиксирует значение этой константы. Напомним, что ${displaystyle {frac {1}{d}}sum _{i}Pi _{i}=I}$ и установить ${displaystyle mathrm {Tr} (Pi _{i}Pi _{j})=c}$. потом

$${displaystyle {egin{aligned}d&=mathrm {Tr} (I^{2})&={frac {1}{d^{2}}}sum _{i,j}mathrm {Tr} (Pi _{i}Pi _{j})&={frac {1}{d^{2}}}left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)ight)end{aligned}}}$$

подразумевает, что ${displaystyle c={frac {1}{d+1}}}$. Таким образом,

$${displaystyle mathrm {Tr} left(Pi _{i}Pi _{j}ight)={frac {ddelta _{ij}+1}{d+1}}.}$$

Это свойство делает SIC-POVM симметричный; с уважением к Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта, любая пара элементов эквивалентна любой другой паре.

Супероператор

Используя элементы SIC-POVM, можно построить интересный супероператор, подобный которому map ${displaystyle {mathcal {B}}({mathcal {H}})ightarrow {mathcal {B}}({mathcal {H}})}$. Этот оператор наиболее полезен при рассмотрении связь SIC-POVM со сферическими Т-образными конструкциями. Рассмотрим карту

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {G}}:{mathcal {B}}({mathcal {H}})&ightarrow {mathcal {B}}({mathcal {H}})A&mapsto displaystyle sum _{alpha }|psi _{alpha }angle langle psi _{alpha }|A|psi _{alpha }angle langle psi _{alpha }|end{aligned}}}$

Этот оператор действует на элемент SIC-POVM способом, очень похожим на identity, в том смысле, что

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {G}}(Pi _{eta })&=displaystyle sum _{alpha }Pi _{alpha }left|langle psi _{alpha }|psi _{eta }angle ight|^{2}&=displaystyle Pi _{eta }+{frac {1}{d+1}}sum _{alpha eq eta }Pi _{alpha }&=displaystyle {frac {d}{d+1}}Pi _{eta }+{frac {1}{d+1}}Pi _{eta }+{frac {1}{d+1}}sum _{alpha eq eta }Pi _{alpha }&=displaystyle {frac {d}{d+1}}Pi _{eta }+{frac {d}{d+1}}sum _{alpha }{frac {1}{d}}Pi _{alpha }&=displaystyle {frac {d}{d+1}}left(Pi _{eta }+Iight)end{aligned}}}$

Но поскольку элементы SIC-POVM могут полностью и однозначно определять любое квантовое состояние, этот линейный оператор может применяться к разложению любого состояния, что дает возможность записать следующее:

${displaystyle G={frac {d}{d+1}}left({mathcal {I}}+Iight)}$ куда ${displaystyle I(A)=A{ ext{ and }}{mathcal {I}}(A)=mathrm {Tr} (A)I}$

Отсюда левый обратный можно рассчитать^[4] быть ${displaystyle G^{-1}={frac {1}{d}}left[left(d+1ight)I-{mathcal {I}}ight]}$, и поэтому, зная, что

${displaystyle I=G^{-1}G={frac {1}{d}}sum _{alpha }left[(d+1)Pi _{alpha }odot Pi _{alpha }-Iodot Pi _{alpha }ight]}$,

выражение для состояния ${displaystyle ho }$ может быть создан в виде квази-вероятностное распределение, следующее:

${displaystyle {egin{aligned}ho =I|ho )&=displaystyle sum _{alpha }left[(d+1)Pi _{alpha }-Iight]{frac {(Pi _{alpha }|ho )}{d}}&=displaystyle sum _{alpha }left[(d+1)Pi _{alpha }-Iight]{frac {mathrm {Tr} (Pi _{alpha }ho )}{d}}&=displaystyle sum _{alpha }p_{alpha }left[(d+1)Pi _{alpha }-Iight]quad { ext{ where }}p_{alpha }=mathrm {Tr} (Pi _{alpha }ho )/d&=displaystyle -I+(d+1)sum _{alpha }p_{alpha }|psi _{alpha }angle langle psi _{alpha }|&=displaystyle sum _{alpha }left[(d+1)p_{alpha }-{frac {1}{d}}ight]|psi _{alpha }angle langle psi _{alpha }|end{aligned}}}$

куда ${displaystyle |ho )}$ обозначение Дирака для оператора плотности, рассматриваемого в гильбертовом пространстве ${displaystyle {mathcal {B}}({mathcal {H}})}$. Это показывает, что соответствующее квазивероятностное распределение (названное так, потому что оно может давать отрицательные результаты) представление состояния ${displaystyle ho }$ дан кем-то

${displaystyle (d+1)p_{alpha }-{frac {1}{d}}}$

Поиск наборов SIC

Самый простой пример

За ${displaystyle d=2}$ уравнения, которые определяют SIC-POVM, могут быть решены вручную, давая векторы

$${displaystyle {egin{aligned}|psi _{1}angle &=|0angle |psi _{2}angle &={frac {1}{sqrt {3}}}|0angle +{sqrt {frac {2}{3}}}|1angle |psi _{3}angle &={frac {1}{sqrt {3}}}|0angle +{sqrt {frac {2}{3}}}e^{i{frac {2pi }{3}}}|1angle |psi _{4}angle &={frac {1}{sqrt {3}}}|0angle +{sqrt {frac {2}{3}}}e^{i{frac {4pi }{3}}}|1angle ,end{aligned}}}$$

которые образуют вершины правильного тетраэдра в Сфера Блоха. Проекторы, которые определяют SIC-POVM, задаются ${displaystyle Pi _{i}=|psi _{i}angle langle psi _{i}|}$.

Для более высоких измерений это невозможно, что требует использования более сложного подхода.

Групповая ковариация

Общая групповая ковариация

SIC-POVM ${displaystyle P}$ как говорят групповой ковариант если существует группа ${displaystyle G}$ с ${displaystyle d^{2}}$-размерный унитарный представление такой, что

• ${displaystyle forall |psi angle langle psi |in P,quad forall U_{g}in G,quad U_{g}|psi angle in P}$
• ${displaystyle forall |psi angle langle psi |,|phi angle langle phi |in P,quad exists U_{g}in G,quad U_{g}|phi angle =|psi angle }$

Поиск SIC-POVM можно значительно упростить, используя свойство групповой ковариантности. Действительно, проблема сводится к нахождению нормализованного реперный вектор ${displaystyle |phi angle }$ такой, что

${displaystyle |langle phi |U_{g}|phi angle |^{2}={frac {1}{d+1}} forall geq id}$.

Тогда SIC-POVM - это набор генерируется посредством групповое действие из ${displaystyle U_{g}}$ на ${displaystyle |phi angle }$.

Случай Z_d × Z_d

До сих пор большинство SIC-POVM были обнаружены путем рассмотрения групповой ковариации при ${displaystyle mathbb {Z} _{d} imes mathbb {Z} _{d}}$.^[5] Чтобы построить унитарное представление, отобразим ${displaystyle mathbb {Z} _{d} imes mathbb {Z} _{d}}$ к ${displaystyle U(d)}$, группа унитарных операторов в d-измерениях. Сначала необходимо ввести несколько операторов. Позволять ${displaystyle |e_{i}angle }$ быть основой для ${displaystyle {mathcal {H}}}$, то фазовый оператор является

${displaystyle T|e_{i}angle =omega ^{i}|e_{i}angle }$ куда ${displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{d}}}$ корень единства

и оператор смены в качестве

${displaystyle S|e_{i}angle =|e_{i+1{pmod {d}}}angle }$

Объединение этих двух операторов дает Оператор Вейля ${displaystyle W(p,q)=S^{p}T^{q}}$ который порождает группу Гейзенберга-Вейля. Это унитарный оператор, поскольку

${displaystyle {egin{aligned}W(p,q)W^{dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}&=Idend{aligned}}}$

Можно проверить, что отображение ${displaystyle (p,q)in mathbb {Z} _{d} imes mathbb {Z} _{d}ightarrow W(p,q)}$ является проективным унитарным представлением. Он также удовлетворяет всем свойствам групповой ковариантности,^[6] и полезен для численного расчета наборов SIC.

Гипотеза Заунера

Учитывая некоторые полезные свойства SIC-POVM, было бы полезно, если бы было точно известно, могут ли такие множества быть построены в гильбертовом пространстве произвольной размерности. Первоначально предложено в диссертации Заунера,^[7] гипотеза о существовании реперного вектора для произвольных размеров была выдвинута.

В частности,

Для каждого измерения ${displaystyle dgeq 2}$ существует SIC-POVM, элементы которого являются орбитой положительного оператора ранга один ${displaystyle E_{0}}$ под Группа Вейля – Гейзенберга ${displaystyle H_{d}}$. Более того, ${displaystyle E_{0}}$ коммутирует с элементом T группы Якоби ${displaystyle J_{d}=H_{d}times SL(2,mathbb {Z} _{d})}$. Действие Т на ${displaystyle H_{d}}$ по модулю центр имеет порядок три.

Используя понятие групповой ковариантности на ${displaystyle mathbb {Z} _{d} imes mathbb {Z} _{d}}$, это можно переформулировать как ^[8]

Для любого измерения ${displaystyle din mathbb {N} }$, позволять ${displaystyle left{kight}_{k=0}^{d-1}}$ быть ортонормированной основой для ${displaystyle mathbb {C} ^{d}}$, и определим

${displaystyle displaystyle omega =e^{frac {2pi i}{d}},quad quad D_{j,k}=omega ^{frac {jk}{2}}sum _{m=0}^{d-1}omega ^{jm}|k+m{pmod {d}}angle langle m|}$

потом ${displaystyle exists |phi angle in mathbb {C} ^{d}}$ так что набор ${displaystyle left{D_{j,k}|phi angle ight}_{j,k=1}^{d}}$ это SIC-POVM

Частичные результаты

Алгебраические и аналитические результаты для нахождения множеств SIC были показаны в предельном случае, когда размерность гильбертова пространства равна ${displaystyle d=2,dots ,21,24,28,30,31,35,37,39,43,48}$.^{[7][8][9][10][11][12][13]} Кроме того, используя ковариантность группы Гейзенберга на ${displaystyle mathbb {Z} _{d} imes mathbb {Z} _{d}}$, численные решения были найдены для всех целых чисел вплоть до ${displaystyle d=151}$.^{[5][8][10][14][15][16]}

Доказательство существования SIC-POVM для произвольных размеров остается открытым вопросом,^[6] но это постоянная область исследований в сообществе квантовой информации.

Отношение к сферической Т-образной конструкции

А сферическая т-образная конструкция это набор векторов ${displaystyle S=left{|phi _{k}angle :|phi _{k}angle in mathbb {S} ^{d}ight}}$ на d-мерном обобщенном гиперсфера, такое, что среднее значение любого ${displaystyle t^{th}}$-порядковый многочлен ${displaystyle f_{t}(psi )}$ над ${displaystyle S}$ равно среднему значению ${displaystyle f_{t}(psi )}$ по всем нормализованным векторам ${displaystyle |psi angle }$. Определение ${displaystyle {mathcal {H}}_{t}=displaystyle igotimes _{i=1}^{t}{mathcal {H}}}$ как t-кратный тензорное произведение гильбертовых пространств и

${displaystyle S_{t}=displaystyle sum _{k=1}^{n}|Phi _{k}^{t}angle langle Phi _{k}^{t}|,quad |Phi _{k}^{t}angle =|phi _{k}angle ^{otimes t}}$

как t-кратное тензорное произведение Рамка оператор, можно показать, что^[8] набор нормализованных векторов ${displaystyle left{|phi _{k}angle in mathbb {S} ^{d}ight}_{k=1}^{n}}$ с ${displaystyle ngeq {t+d-1 choose d-1}}$ образует сферическую Т-образную конструкцию тогда и только тогда, когда

${displaystyle displaystyle mathrm {Tr} left[S_{t}^{2}ight]=sum _{j,k}left|langle phi _{j}|phi _{k}angle ight|^{2t}={frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}}$

Отсюда немедленно следует, что каждый SIC-POVM является 2-дизайном, поскольку

${displaystyle mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=displaystyle sum _{j,k}|langle phi _{j}|phi _{k}angle |^{4}={frac {2d^{3}}{d+1}}}$

что и есть необходимое значение, удовлетворяющее приведенной выше теореме.

Отношение к MUB

В d-мерное гильбертово пространство, два отчетливый базы ${displaystyle left{|psi _{i}angle ight},left{|phi _{j}angle ight}}$как говорят взаимно беспристрастный если

${displaystyle displaystyle |langle psi _{i}|phi _{j}angle |^{2}={frac {1}{d}},quad forall i,j}$

По своей природе это похоже на симметричное свойство SIC-POVM. Wootters отмечает, что полный набор ${displaystyle d+1}$ несмещенные основания дают геометрическую структуру, известную как конечная проективная плоскость, в то время как SIC-POVM (в любом измерении, основная сила ) дает конечная аффинная плоскость, тип структуры, определение которой идентично определению конечной проективной плоскости с обменом ролями точек и прямых. В этом смысле проблемы SIC-POVM и взаимно беспристрастных оснований двойственны друг другу.^[17]

В измерении ${displaystyle d=3}$, аналогию можно продолжить: полный набор взаимно несмещенных оснований может быть непосредственно построен из SIC-POVM.^[18] 9 векторов SIC-POVM вместе с 12 векторами взаимно несмещенных оснований образуют набор, который можно использовать в Доказательство Кохена – Шпекера.^[19] Однако в 6-мерном гильбертовом пространстве известен SIC-POVM, но полный набор взаимно несмещенных базисов еще не обнаружен, и широко распространено мнение, что такого набора не существует.^[20][21]

Смотрите также

• Измерение в квантовой механике
• Взаимно объективные основы
• POVM
• QBism

Рекомендации

1. К. М. Кейвс, К. А. Фукс и Р. Шак, «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти», J. Math. Phys. 43, 4537–4559 (2002).
2. К. А. Фукс и М. Сасаки, «Вытеснение квантовой информации через классический канал: измерение« квантовости »набора квантовых состояний», Quant. Информация. Комп. 3, 377–404 (2003).
3. Эпплби, Маркус; Flammia, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (2017-04-24). «SIC и теория алгебраических чисел». Основы физики. 47 (8): 1042–1059. arXiv:1701.05200. Bibcode:2017FoPh..tmp ... 34A. Дои:10.1007 / s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018.
4. СМ. Пещеры (1999); http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm.pdf
5. Робин Блюм-Кохут, Джозеф М. Ренес, Эндрю Дж. Скотт, Карлтон М. Кейвс, http://info.phys.unm.edu/papers/reports/sicpovm.html
6. Эпплби, Д. М. (2005). «SIC-POVMs и Расширенная группа Клиффорда». Журнал математической физики. 46 (5): 052107. arXiv:Quant-ph / 0412001. Bibcode:2005JMP .... 46e2107A. Дои:10.1063/1.1896384.
7. Г. Заунер, Quantendesigns - Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Диссертация, Венский университет, 1999. http://www.gerhardzauner.at/documents/gz-quantendesigns.pdf
8. Ренес, Джозеф М .; Блюм-Когоут, Робин; Scott, A.J .; Пещеры, Карлтон М. (2004). «Симметричные информационно полные квантовые измерения». Журнал математической физики. 45 (6): 2171. arXiv:Quant-ph / 0310075. Bibcode:2004JMP .... 45.2171R. Дои:10.1063/1.1737053.
9. Колдобский А., Кениг Х. Аспекты изометрической теории банаховых пространств // Справочник по геометрии банаховых пространств. 1, отредактированный В. Б. Джонсоном и Дж. Линденштраусом, (Северная Голландия, Дордрехт, 2001 г.), стр. 899–939.
10. Scott, A.J .; Грассл, М. (2010). «НИЦ-ПОВМ: Новое компьютерное исследование». Журнал математической физики. 51 (4): 042203. arXiv:0910.5784. Bibcode:2010JMP .... 51d2203S. Дои:10.1063/1.3374022.
11. TY Chien. `` Равноугольные линии, проективные симметрии и красивые рамки ошибок. Докторская диссертация Оклендского университета (2015); https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Tuan/Thesis.pdf
12. "Точные реперные векторы SIC". Сиднейский университет. Получено 2018-03-07.
13. Эпплби, Маркус; Чиен, Туан-Йоу; Flammia, Стивен; Уолдрон, Шейн (2018). «Построение точных симметричных информационно полных измерений из численных решений». Журнал физики A: математический и теоретический. 51 (16): 165302. arXiv:1703.05981. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aab4cd.
14. Fuchs, Christopher A .; Стейси, Блейк С. (21 декабря 2016 г.). «QBism: квантовая теория как справочник героя». arXiv:1612.07308 [Quant-ph ].
15. Скотт, А. Дж. (2017-03-11). «НИЦ: Расширение списка решений». arXiv:1703.03993 [Quant-ph ].
16. Fuchs, Christopher A .; Хоанг, Майкл С .; Стейси, Блейк С. (22 марта 2017 г.). «Вопрос SIC: история и состояние дел». Аксиомы. 6 (4): 21. arXiv:1703.07901. Дои:10.3390 / аксиомы6030021.
17. Wootters, Уильям К. (2004). «Квантовые измерения и конечная геометрия». arXiv:Quant-ph / 0406032.
18. Стейси, Блейк С. (2016). «SIC-POVM и совместимость квантовых состояний». Математика. 4 (2): 36. arXiv:1404.3774. Дои:10.3390 / math4020036.
19. Бенгтссон, Ингемар; Бланчфилд, Кейт; Кабельо, Адан (2012). «Неравенство Кохена – Шпекера из НИЦ». Письма о физике A. 376 (4): 374–376. arXiv:1109.6514. Bibcode:2012ФЛА..376..374Б. Дои:10.1016 / j.physleta.2011.12.011.
20. Грассл, Маркус (2004). «О SIC-POVM и MUB в измерении 6». arXiv:Quant-ph / 0406175.
21. Бенгтссон, Ингемар; Cyczkowski, Karol (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (Второе изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 313–354. ISBN  9781107026254. OCLC  967938939.