Тренд-стационарный процесс - Trend-stationary process

в статистический анализ из Временные ряды, а тренд-стационарный процесс это случайный процесс из которого можно определить базовый тренд (функция исключительно времени). удаленный, оставив стационарный процесс.^[1] Тенденция не обязательно должна быть линейной.

И наоборот, если процесс требует, чтобы дифференцирование было стационарным, его называют разница стационарная и обладает одним или несколькими единичные корни.^[2][3] Эти два понятия иногда можно путать, но, хотя они имеют много общих свойств, они во многих аспектах различны. Временной ряд может быть нестационарным, но не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в стационарных тенденциях среднее значение может со временем расти или уменьшаться; однако при наличии шока стационарные процессы тренда возвращаются к среднему (т. е. временные, временные ряды снова сходятся к растущему среднему, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т.е. отсутствие сходимости во времени).^[4]

Формальное определение

Процесс {Y} называется тренд-стационарным, если^[5]

${\displaystyle Y_{t}=f(t)+e_{t},}$

куда т время, ж любое отображение функций из реалы к реалам и {е} - стационарный процесс. Значение ${\displaystyle f(t)}$ считается трендом процесса во временит.

Самый простой пример: стационарность вокруг линейного тренда

Предположим, что переменная Y развивается согласно

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}}$

куда т время и е_т это член ошибки, который предположительно белый шум или, в более общем смысле, возникли в результате какого-либо стационарного процесса. Тогда можно использовать^[5][6][7] линейная регрессия получить оценку ${\displaystyle {\hat {a}}}$ истинного наклона основного тренда ${\displaystyle a}$ и оценка ${\displaystyle {\hat {b}}}$ основного термина перехвата б; если оценка ${\displaystyle {\hat {a}}}$ существенно отличается от нуля, этого достаточно, чтобы с большой уверенностью показать, что переменная Y нестационарен. В остатки из этой регрессии даются

${\displaystyle {\hat {e}}_{t}=Y_{t}-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.}$

Если можно статистически показать, что эти оцененные остатки являются стационарными (точнее, если можно отклонить гипотезу о том, что истинные лежащие в основе ошибки нестационарны), то остатки называются лишенный тренда данные,^[8] и исходная серия {Y_т} называется тренд-стационарным, даже если он не является стационарным.

Стационарность относительно других типов тренда

Тенденция экспоненциального роста

Многие экономические временные ряды характеризуются экспоненциальный рост. Например, предположим, что одна из гипотез валовой внутренний продукт характеризуется стационарными отклонениями от тренда с постоянной скоростью роста. Тогда это можно было бы смоделировать как

${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}=Be^{at}U_{t}}$

с тобой_т предполагается, что это стационарный ошибочный процесс. Для оценки параметров ${\displaystyle a}$ и B, первый дубль^[8] то натуральный логарифм (ln) обеих частей этого уравнения:

${\displaystyle \ln({\text{GDP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).}$

Этот лог-линейный уравнение имеет ту же форму, что и предыдущее уравнение линейного тренда, и его можно исключить из тренда таким же образом, давая оценочную ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$ как стоимость без тренда ${\displaystyle (\ln {\text{GDP}})_{t}}$, и, следовательно, подразумеваемая ${\displaystyle U_{t}}$ как стоимость без тренда ${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}}$, предполагая, что можно отвергнуть гипотезу, что ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$ нестационарен.

Квадратичный тренд

Тенденции не обязательно должны быть линейными или лог-линейными. Например, переменная может иметь квадратичный тренд:

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.}$

Это можно линейно регрессировать в коэффициентах, используя т и т² как регрессоры; опять же, если показано, что остатки являются стационарными, то они являются значениями без тренда ${\displaystyle Y_{t}}$.

Смотрите также

• Оценка тренда
• Разложение временного ряда
• KPSS тест

Примечания

1. About.com экономика Интернет-глоссарий экономики исследований
2. (PDF) http://pages.stern.nyu.edu/~churvich/Forecasting/Handouts/UnitRoot.pdf. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
3. (PDF) http://www.stats.ox.ac.uk/~burke/Autocorrelation/Non-Stationary%20Series.pdf. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
4. Хайно Бон Нильсен. «Нестационарные временные ряды и тесты единичного корня» (PDF).
5. Нельсон, Чарльз Р. и Плоссер, Чарльз I. (1982), «Тенденции и случайные колебания в макроэкономических временных рядах: некоторые свидетельства и последствия». Журнал денежно-кредитной экономики, 10, 139–162.
6. Хегвуд, Натали, и Папелл, Дэвид Х. «Являются ли тренд, разница или тренд реального ВВП стационарным? Данные тестов панельных данных включают структурные изменения». http://www.uh.edu/~dpapell/realgdp.pdf
7. Удачи, Бернд. «Является ли тренд ВВП Германии стационарным? Подход, основанный на теории измерения». «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-07-08. Получено 2010-12-07.
8. http://www.duke.edu/~rnau/411diff.htm «Стационарность и дифференциация»