Тригонометрические функции матриц - Trigonometric functions of matrices
Важные функции при решении дифференциальных уравнений
В тригонометрические функции (особенно синус и косинус ) для реальных или сложных квадратные матрицы встречаются в решениях систем второго порядка дифференциальные уравнения .[1] Серия Тейлор которые выполняются для тригонометрических функций действительных и сложные числа :[2]
грех Икс = Икс − Икс 3 3 ! + Икс 5 5 ! − Икс 7 7 ! + ⋯ = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ( 2 п + 1 ) ! Икс 2 п + 1 потому что Икс = я − Икс 2 2 ! + Икс 4 4 ! − Икс 6 6 ! + ⋯ = ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ( 2 п ) ! Икс 2 п { displaystyle { begin {align} sin X & = X - { frac {X ^ {3}} {3!}} + { frac {X ^ {5}} {5!}} - { frac {X ^ {7}} {7!}} + Cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)! }} X ^ {2n + 1} cos X & = I - { frac {X ^ {2}} {2!}} + { Frac {X ^ {4}} {4!}} - { frac {X ^ {6}} {6!}} + cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)! }} X ^ {2n} конец {выровнено}}} с Иксп п th мощность матрицы Икс , и я будучи единичная матрица соответствующих размеров.
Эквивалентно их можно определить с помощью матрица экспонента вместе с матричным эквивалентом Формула Эйлера , еiX = cos Икс + я грех Икс
грех Икс = е я Икс − е − я Икс 2 я потому что Икс = е я Икс + е − я Икс 2 . { displaystyle { begin {align} sin X & = {e ^ {iX} -e ^ {- iX} over 2i} cos X & = {e ^ {iX} + e ^ {- iX} более 2}. end {align}}} Например, взяв Икс быть стандартом Матрица Паули ,
σ 1 = σ Икс = ( 0 1 1 0 ) , { displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {x} = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} ~,} надо
грех ( θ σ 1 ) = грех ( θ ) σ 1 , потому что ( θ σ 1 ) = потому что ( θ ) я , { displaystyle sin ( theta sigma _ {1}) = sin ( theta) ~ sigma _ {1}, qquad cos ( theta sigma _ {1}) = cos ( theta ) ~ I ~,} а также для функция кардинального синуса ,
грех ( θ σ 1 ) = грех ( θ ) я . { displaystyle operatorname {sinc} ( theta sigma _ {1}) = operatorname {sinc} ( theta) ~ I.} Характеристики Аналог Пифагорейская тригонометрическая идентичность держит:[2]
грех 2 Икс + потому что 2 Икс = я { displaystyle sin ^ {2} X + cos ^ {2} X = I} Если Икс это диагональная матрица , грех Икс и потому что Икс также диагональные матрицы с (грех Икс )nn Иксnn ) и (потому что Икс )nn Иксnn ) , то есть их можно вычислить, просто взяв синусы или косинусы диагональных компонентов матриц.
Аналоги формулы тригонометрического сложения правда если и только если XY = YX :[2]
грех ( Икс ± Y ) = грех Икс потому что Y ± потому что Икс грех Y потому что ( Икс ± Y ) = потому что Икс потому что Y ∓ грех Икс грех Y { displaystyle { begin {align} sin (X pm Y) = sin X cos Y pm cos X sin Y cos (X pm Y) = cos X cos Y mp sin X sin Y end {выровнено}}} Прочие функции Касательная, а также обратные тригонометрические функции , гиперболический и обратные гиперболические функции также были определены для матриц:[3]
Arcsin Икс = − я пер ( я Икс + я − Икс 2 ) { displaystyle arcsin X = -i ln left (iX + { sqrt {I-X ^ {2}}} right)} Обратные тригонометрические функции # Логарифмические формы , Матричный логарифм , Квадратный корень из матрицы ) грех Икс = е Икс − е − Икс 2 шиш Икс = е Икс + е − Икс 2 { displaystyle { begin {align} sinh X & = {e ^ {X} -e ^ {- X} over 2} cosh X & = {e ^ {X} + e ^ {- X} более 2} end {align}}} и так далее.
Рекомендации ^ Гарет И. Харгривз, Николас Дж. Хайэм (2005). «Эффективные алгоритмы для матричных косинусов и синусов». Отчет численного анализа . Манчестерский центр вычислительной математики (461). CS1 maint: использует параметр авторов (связь) ^ а б c Николас Дж. Хайэм (2008). Функции матриц: теория и вычисления . стр. 287f. ISBN 9780898717778 ^ Тригонометрия Scilab .
