Трехчленное разложение - Trinomial expansion

В математика, а трехчленное разложение представляет собой разложение степени суммы трех членов в мономы. Расширение дается

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{\stackrel {i,j,k}{i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

где п - целое неотрицательное число, и сумма берется по всем комбинациям неотрицательных индексов я, j, и k такой, что я + j + k = п.^[1] В трехчленные коэффициенты даны

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

Эта формула является частным случаем полиномиальная формула для м = 3. Коэффициенты можно определить с помощью обобщения Треугольник Паскаля в трех измерениях, называемых Пирамида паскаля или тетраэдр Паскаля.^[2]

Свойства

Количество членов расширенного трехчлена - это треугольное число

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

где п - показатель степени, до которого возводится трехчлен.^[3]

пример

Пример трехчленного разложения с ${\displaystyle n=2}$ является :

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$

Смотрите также

• Биномиальное разложение
• Пирамида паскаля
• Полиномиальный коэффициент
• Трехчленный треугольник

использованная литература

1. Коши, Томас (2004), Дискретная математика с приложениями, Academic Press, стр. 889, г. ISBN  9780080477343.
2. Харрис, Джон; Херст, Джеффри Л .; Моссингхофф, Майкл (2009), Комбинаторика и теория графов, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, p. 146, ISBN  9780387797113.
3. Розенталь, Э. Р. (1961), "Пирамида Паскаля для трехчленных коэффициентов", Учитель математики, 54 (5): 336–338.