Усеченная проективная плоскость - Truncated projective plane

В геометрии усеченная проективная плоскость (TPP), также известный как дуальная аффинная плоскость, особый вид гиперграф или же геометрическая конфигурация который строится следующим образом.^[1]^[2]

Возьмите конечный проективная плоскость.
Удалите одну из точек (вершин) на плоскости.
Удалите все линии (края), содержащие эту точку.

Эти объекты изучались в самых разных условиях, часто независимо друг от друга, поэтому было разработано много терминологии. Кроме того, разные области часто задают разные типы вопросов об этих объектах и интересуются разными аспектами одних и тех же объектов.

Пример

Рассмотрим Самолет Фано, которая является проективной плоскостью порядка 2. Она имеет 7 вершин {1,2,3,4,5,6,7} и 7 ребер {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}.

Его можно усечь, например удалив вершину 7 и содержащие ее ребра. Оставшийся гиперграф - это TPP порядка 2. У него 6 вершин {1,2,3,4,5,6} и 4 ребра {123, 154, 624, 653}. Это трехчастный гиперграф со сторонами {1,6}, {2,5}, {3,4} (которые в точности являются соседями удаленной вершины 7). Его еще называют Гиперграф Паша, из-за его связи с Аксиома Паша.^[3]^:4

Комбинаторика двойственных аффинных плоскостей

Конечная проективная плоскость порядка $п$ имеет $п$ + 1 балл на каждой строке ( $п + 1 = р$ в описании гиперграфа). Есть $п 2 + п + 1$ общее количество очков и равное количество строк. Каждая точка включена $п$ + 1 линия. Каждые две различные точки лежат на единственной прямой, и каждые две различные прямые пересекаются в единственной точке.

Удалив точку и все линии, проходящие через эту точку, оставшаяся конфигурация будет $п 2 + п$ точки, $п$ ² линии, каждая точка находится на $п$ строк и каждая строка содержит $п$ +1 балл. Каждая пара различных линий по-прежнему встречается в уникальной точке, но две разные точки находятся не более чем на одной линии. Таким образом, эта дуальная аффинная плоскость является конфигурацией типа ( $(п 2 + п) п (п 2) п + 1$ ).

Точки можно разбить на $п$ + 1 комплект $п$ точек за штуку, где никакие две точки в одном наборе разбиений не соединяются линией. Эти множества являются аналогами классов параллельных прямых на аффинной плоскости, и некоторые авторы называют точки в части разбиения параллельные точки в соответствии с двойным характером конструкции.^[4]

Проективные плоскости, построенные из конечные поля (Дезарговские самолеты ) имеют группы автоморфизмов это действие переходно на точках плоскости, поэтому для этих плоскостей точка, удаленная для образования дуальной аффинной плоскости, несущественна, результаты выбора различных точек будут изоморфный. Однако существуют недезарговские планы и выбор точки для удаления в них может привести к неизоморфным дуальным аффинным плоскостям с одинаковыми параметрами.

Аффинная плоскость получается удалением прямой и всех точек на этой прямой из проективной плоскости. Поскольку проективная плоскость является самодуальной конфигурацией, двойной Конфигурация аффинной плоскости получается из проективной плоскости удалением точки и всех прямых, проходящих через эту точку. Отсюда и название этой конфигурации.

Свойства гиперграфа

Известно, что проективная плоскость порядка р-1 существует всякий раз, когда р-1 - простая степень; следовательно, то же самое верно и для ТЭС.

Конечная проективная плоскость порядка р-1 содержит р²-р+1 вершины и р²-р+1 ребра; следовательно, ТПП порядка р-1 содержит р²-р вершины и р²-2r+1 ребра.

ТЭЦ порядка р-1 - это р-дольный гиперграф: его вершины можно разбить на р таких частей, что каждое гиперребро содержит ровно одну вершину каждой части. Например, в TPP заказа 2 три части: {1,6}, {2,5} и {3,4}. В общем, каждый из р части содержит р-1 вершина.

Каждое ребро в TPP пересекает все остальные ребра. Следовательно, его максимальный размер соответствия равен 1:

${ displaystyle nu (H) = 1}$ .

С другой стороны, покрытие всех краев ТЭС требует всех р-1 вершина одной из частей. Следовательно, его минимальный размер вершинного покрытия равен р-1:

${ Displaystyle тау (ЧАС) = г-1}$ .

Следовательно, TPP является экстремальным гиперграфом для Гипотеза Райзера.^[5]^[1]^[6]

Минимальный дробный размер вершинного покрытия TPP составляет р-1 тоже: присвоение веса 1 /р в каждую вершину (которая является вершинным покрытием, поскольку каждое гиперребро содержит р вершины) дает дробное покрытие размером (р²-р)/р=р-1.

Максимум дробное соответствие размер р-1 тоже: присвоение веса 1 / (г-1) на каждое гиперребро (которое является паросочетанием, поскольку каждая вершина содержится в р-1 ребра) дает дробное соответствие размера (р²-2r+1)/(р-1)=р-1. Следовательно:^[7]

${ Displaystyle тау ^ {*} (H) = nu ^ {*} (H) = r-1}$ .

Обратите внимание, что приведенное выше дробное сопоставление идеально, поскольку его размер равен количеству вершин в каждой части р-дольный гиперграф. Однако идеального совпадения нет, и, более того, максимальный размер совпадения составляет только 1. Это контрастирует с ситуацией в двудольных графах, в которых идеальный дробное соответствие подразумевает наличие идеального соответствия.

Теоретико-конструкторские аспекты

Двойные аффинные плоскости можно рассматривать как точечный остаток проективной плоскости,^[8] а 1-дизайн,^[9] и, более классически, как тактическая конфигурация.^[10]

Поскольку они не являются попарно сбалансированными планами (PBD), они не были тщательно изучены с точки зрения теории проектирования. Тем не менее, тактические конфигурации - центральная тема в геометрии, особенно конечная геометрия.

История

В соответствии с Дембовский (1968, п. 5), термин «тактическая конфигурация», по-видимому, принадлежит Э. Х. Муру в 1896 году.^[11] Историю двойных конфигураций см. Двойственность (проективная геометрия) # История.

Примечания

^ ^а ^б Ахарони, Рон (01.01.2001). «Гипотеза Райзера для трехчастных 3-графов». Комбинаторика. 21 (1): 1–4. Дои:10.1007 / s004930170001. ISSN 0209-9683. S2CID 13307018.
^ Фюреди, Золтан (1 мая 1989 г.). «Покрытие всего графа разбиениями». Дискретная математика. 75 (1): 217–226. Дои:10.1016 / 0012-365X (89) 90088-5. ISSN 0012-365X.
^ Беллманн, Луи; Райер, Кристиан (2019-10-02). "Теорема Турана для плоскости Фано". Комбинаторика. 39 (5): 961–982. Дои:10.1007 / s00493-019-3981-8. ISSN 0209-9683.
^ Дембовский 1968, п. 306
^ Туза (1983). «Гипотеза Райзера о трансверсалей r-долевых гиперграфов». Ars Combinatorica.
^ Абу-Хазне, Ахмад; Барат, Янош; Покровский, Алексей; Сабо, Тибор (12.07.2018). «Семейство экстремальных гиперграфов для гипотезы Райзера». arXiv:1605.06361 [math.CO ].
^ Фюреди, Золтан (1 июня 1981 г.). «Максимальные степени и дробные сопоставления в однородных гиперграфах». Комбинаторика. 1 (2): 155–162. Дои:10.1007 / BF02579271. ISSN 1439-6912. S2CID 10530732.
^ Бет, Юнгникель и Ленц 1986, п. 79
^ Бет, Юнгникель и Ленц 1986, п. 30
^ Дембовский 1968, п. 4
^ Мур, Э. (1896 г.), «Тактические меморандумы», Американский журнал математики, 18: 264–303, Дои:10.2307/2369797, JSTOR 2369797