Ультрапараллельная теорема - Ultraparallel theorem

В гиперболическая геометрия, две линии могут пересекаться, быть ультрапараллельный, или быть предельная параллель.
В конформных моделях гиперболическая плоскость, например, модели Пуанкаре, прямые углы можно распознать между пересекающимися линиями. В таких моделях ультрапараллельная теорема утверждает, что каждая пара ультрапараллельных линий имеет уникальное общее перпендикуляр гиперболическая линия.
Конструкция Гильберта
Пусть r и s - две ультрапараллельные прямые.
Из любых двух различных точек A и C на s проведите AB и CB 'перпендикулярно r, а B и B' на r.
Если случается, что AB = CB ', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии Четырехугольник Саккери ACB'B).
В противном случае мы можем предположить AB
Тогда D '≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Таким образом, серединный перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r.[1]
(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция потерпела бы неудачу, потому что s 'не соответствовала бы s. Скорее s' была бы асимптотически параллельна как s, так и r.)
Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре.

Позволять
быть четырьмя различными точками на абсцисса из Декартова плоскость. Позволять и быть полукруги над абсциссой с диаметрами и соответственно. Тогда в Модель полуплоскости Пуанкаре HP, и представляют собой ультрапараллельные линии.
Составьте следующие два гиперболические движения:
потом
Теперь продолжите эти два гиперболических движения:
потом остается в , , , (сказать). Уникальный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярный кругу на должен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длины . С - радиус полукруга на искомый общий перпендикуляр имеет радиус-квадрат
Четыре гиперболических движения, вызвавшие каждый из указанных выше может быть инвертирован и применен в обратном порядке к полукругу с центром в начале координат и радиусом чтобы получить уникальную гиперболическую линию, перпендикулярную обоим ультрапараллелям и .
Доказательство в модели Бельтрами-Клейна
в Модель Бельтрами-Кляйна гиперболической геометрии:
- две ультрапараллельные линии соответствуют двум непересекающимся аккорды.
- В полюса этих двух линий являются соответствующими пересечениями касательные линии к границе круг на концах аккордов.
- Линии перпендикуляр ровняться л моделируются хордами, протяженность которых проходит через полюс л.
- Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных линий и пересекаем ее с граничной окружностью; хорда пересечения будет желаемым общим перпендикуляром ультрапараллельных линий.
Если одна из хорд является диаметром, у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другая линия, пересекающая диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.
Доказательство завершается тем, что эта конструкция всегда возможна:
- Если обе хорды диаметры, они пересекаются (в центре граничной окружности)
- Если только одна из хорд является диаметром, другая хорда проходит ортогонально вниз к секции первой хорды, содержащейся в ее внутренней части, а линия от полюса, ортогональная диаметру, пересекает и диаметр, и хорду.
- Если обе прямые не диаметры, то мы можем удлинить касательные, проведенные от каждого полюса, чтобы получить четырехугольник с вписанным в него единичным кругом.[как? ] Полюса - это противоположные вершины этого четырехугольника, а хорды - это линии, проведенные между соседними сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый,[Зачем? ] линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные по углам, а отрезок линии между хордами определяет требуемый хорд, перпендикулярный двум другим хордам.
В качестве альтернативы, мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных прямых следующим образом: ультрапараллельные прямые в модели Бельтрами-Клейна представляют собой две непересекающиеся хорды. Но на самом деле они пересекаются вне круга. Полярная точка пересечения - это желаемый общий перпендикуляр.[2]
Рекомендации
- ^ Х. С. М. Коксетер. Неевклидова геометрия. С. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, стр.72
- Кароль Борсук & Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии, стр. 291.