Ультрапараллельная теорема - Ultraparallel theorem

Модель диска Пуанкаре: розовая линия ультрапараллельна синей линии, а зеленые линии ограничивают параллель синей линии.

В гиперболическая геометрия, две линии могут пересекаться, быть ультрапараллельный, или быть предельная параллель.

В конформных моделях гиперболическая плоскость, например, модели Пуанкаре, прямые углы можно распознать между пересекающимися линиями. В таких моделях ультрапараллельная теорема утверждает, что каждая пара ультрапараллельных линий имеет уникальное общее перпендикуляр гиперболическая линия.

Конструкция Гильберта

Пусть r и s - две ультрапараллельные прямые.

Из любых двух различных точек A и C на s проведите AB и CB 'перпендикулярно r, а B и B' на r.

Если случается, что AB = CB ', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии Четырехугольник Саккери ACB'B).

В противном случае мы можем предположить AB

Тогда D '≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Таким образом, серединный перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r.^[1]

(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция потерпела бы неудачу, потому что s 'не соответствовала бы s. Скорее s' была бы асимптотически параллельна как s, так и r.)

Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре.

Позволять

${\displaystyle a<b<c<d}$

быть четырьмя различными точками на абсцисса из Декартова плоскость. Позволять ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ быть полукруги над абсциссой с диаметрами ${\displaystyle ab}$ и ${\displaystyle cd}$ соответственно. Тогда в Модель полуплоскости Пуанкаре HP, ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ представляют собой ультрапараллельные линии.

Составьте следующие два гиперболические движения:

${\displaystyle x\to x-a}$

${\displaystyle {\mbox{inversion in the unit semicircle.}}}$

потом ${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (b-a)^{-1},\quad c\to (c-a)^{-1},\quad d\to (d-a)^{-1}.}$

Теперь продолжите эти два гиперболических движения:

${\displaystyle x\to x-(b-a)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(c-a)^{-1}-(b-a)^{-1}\right]^{-1}x}$

потом ${\displaystyle a}$ остается в ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle b\to 0}$, ${\displaystyle c\to 1}$, ${\displaystyle d\to z}$ (сказать). Уникальный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярный кругу на ${\displaystyle 1z}$ должен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длины ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)}$. С ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)}$ - радиус полукруга на ${\displaystyle 1z}$искомый общий перпендикуляр имеет радиус-квадрат

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

Четыре гиперболических движения, вызвавшие ${\displaystyle z}$ каждый из указанных выше может быть инвертирован и применен в обратном порядке к полукругу с центром в начале координат и радиусом ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ чтобы получить уникальную гиперболическую линию, перпендикулярную обоим ультрапараллелям ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$.

Доказательство в модели Бельтрами-Клейна

в Модель Бельтрами-Кляйна гиперболической геометрии:

• две ультрапараллельные линии соответствуют двум непересекающимся аккорды.
• В полюса этих двух линий являются соответствующими пересечениями касательные линии к границе круг на концах аккордов.
• Линии перпендикуляр ровняться л моделируются хордами, протяженность которых проходит через полюс л.
• Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных линий и пересекаем ее с граничной окружностью; хорда пересечения будет желаемым общим перпендикуляром ультрапараллельных линий.

Если одна из хорд является диаметром, у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другая линия, пересекающая диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.

Доказательство завершается тем, что эта конструкция всегда возможна:

• Если обе хорды диаметры, они пересекаются (в центре граничной окружности)
• Если только одна из хорд является диаметром, другая хорда проходит ортогонально вниз к секции первой хорды, содержащейся в ее внутренней части, а линия от полюса, ортогональная диаметру, пересекает и диаметр, и хорду.
• Если обе прямые не диаметры, то мы можем удлинить касательные, проведенные от каждого полюса, чтобы получить четырехугольник с вписанным в него единичным кругом.^{[как? ]} Полюса - это противоположные вершины этого четырехугольника, а хорды - это линии, проведенные между соседними сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый,^{[Зачем? ]} линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные по углам, а отрезок линии между хордами определяет требуемый хорд, перпендикулярный двум другим хордам.

В качестве альтернативы, мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных прямых следующим образом: ультрапараллельные прямые в модели Бельтрами-Клейна представляют собой две непересекающиеся хорды. Но на самом деле они пересекаются вне круга. Полярная точка пересечения - это желаемый общий перпендикуляр.^[2]

Рекомендации

1. Х. С. М. Коксетер. Неевклидова геометрия. С. 190–192. ISBN  978-0-88385-522-5.
2. У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, стр.72

• Кароль Борсук & Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии, стр. 291.