Ультрапараллельная теорема - Ultraparallel theorem

Модель диска Пуанкаре: розовая линия ультрапараллельна синей линии, а зеленые линии ограничивают параллель синей линии.

В гиперболическая геометрия, две линии могут пересекаться, быть ультрапараллельный, или быть предельная параллель.

В конформных моделях гиперболическая плоскость, например, модели Пуанкаре, прямые углы можно распознать между пересекающимися линиями. В таких моделях ультрапараллельная теорема утверждает, что каждая пара ультрапараллельных линий имеет уникальное общее перпендикуляр гиперболическая линия.

Конструкция Гильберта

Пусть r и s - две ультрапараллельные прямые.

Из любых двух различных точек A и C на s проведите AB и CB 'перпендикулярно r, а B и B' на r.

Если случается, что AB = CB ', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии Четырехугольник Саккери ACB'B).

В противном случае мы можем предположить AB

Тогда D '≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Таким образом, серединный перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r.^[1]

(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция потерпела бы неудачу, потому что s 'не соответствовала бы s. Скорее s' была бы асимптотически параллельна как s, так и r.)

Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре.

Позволять

{ displaystyle a

быть четырьмя различными точками на абсцисса из Декартова плоскость. Позволять ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ быть полукруги над абсциссой с диаметрами ${ displaystyle ab}$ и ${ displaystyle cd}$ соответственно. Тогда в Модель полуплоскости Пуанкаре HP, ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ представляют собой ультрапараллельные линии.

Составьте следующие два гиперболические движения:

${ Displaystyle х к х-а}$

${ displaystyle { mbox {инверсия в единичном полукруге.}}}$

потом ${ displaystyle a to infty, quad b to (ba) ^ {- 1}, quad c to (ca) ^ {- 1}, quad d to (da) ^ {- 1} .}$

Теперь продолжите эти два гиперболических движения:

${ Displaystyle х к х- (b-a) ^ {- 1}}$

${ displaystyle x to left [(c-a) ^ {- 1} - (b-a) ^ {- 1} right] ^ {- 1} x}$

потом ${ displaystyle a}$ остается в ${ displaystyle infty}$ , ${ displaystyle b to 0}$ , ${ displaystyle c to 1}$ , ${ displaystyle d to z}$ (сказать). Уникальный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярный кругу на ${ displaystyle 1z}$ должен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длины ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (z + 1)}$ . С ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} (z-1)}$ - радиус полукруга на ${ displaystyle 1z}$ искомый общий перпендикуляр имеет радиус-квадрат

${ displaystyle { frac {1} {4}} left [(z + 1) ^ {2} - (z-1) ^ {2} right] = z.}$

Четыре гиперболических движения, вызвавшие ${ displaystyle z}$ каждый из указанных выше может быть инвертирован и применен в обратном порядке к полукругу с центром в начале координат и радиусом ${ displaystyle { sqrt {z}}}$ чтобы получить уникальную гиперболическую линию, перпендикулярную обоим ультрапараллелям ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ .

Доказательство в модели Бельтрами-Клейна

в Модель Бельтрами-Кляйна гиперболической геометрии:
две ультрапараллельные линии соответствуют двум непересекающимся аккорды.
В полюса этих двух линий являются соответствующими пересечениями касательные линии к границе круг на концах аккордов.
Линии перпендикуляр ровняться л моделируются хордами, протяженность которых проходит через полюс л.
Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных линий и пересекаем ее с граничной окружностью; хорда пересечения будет желаемым общим перпендикуляром ультрапараллельных линий.
Если одна из хорд является диаметром, у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другая линия, пересекающая диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.
Доказательство завершается тем, что эта конструкция всегда возможна:
Если обе хорды диаметры, они пересекаются (в центре граничной окружности)
Если только одна из хорд является диаметром, другая хорда проходит ортогонально вниз к секции первой хорды, содержащейся в ее внутренней части, а линия от полюса, ортогональная диаметру, пересекает и диаметр, и хорду.
Если обе прямые не диаметры, то мы можем удлинить касательные, проведенные от каждого полюса, чтобы получить четырехугольник с вписанным в него единичным кругом.^{[как? ]} Полюса - это противоположные вершины этого четырехугольника, а хорды - это линии, проведенные между соседними сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый,^{[Зачем? ]} линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные по углам, а отрезок линии между хордами определяет требуемый хорд, перпендикулярный двум другим хордам.

В качестве альтернативы, мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных прямых следующим образом: ультрапараллельные прямые в модели Бельтрами-Клейна представляют собой две непересекающиеся хорды. Но на самом деле они пересекаются вне круга. Полярная точка пересечения - это желаемый общий перпендикуляр.^[2]
Рекомендации

^ Х. С. М. Коксетер. Неевклидова геометрия. С. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5.
^ У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, стр.72
Кароль Борсук & Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии, стр. 291.

[1] Х. С. М. Коксетер. Неевклидова геометрия. С. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5.

[2] У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология, стр.72

[1]

[2]