Универсальная теорема вложения - Universal embedding theorem

В универсальная теорема вложения, или же Универсальная теорема вложения Краснера – Калужнина., это теорема из математической дисциплины теория групп впервые опубликовано в 1951 г. Марк Краснер и Лев Калузнин.^[1] Теорема утверждает, что любой расширение группы группы ЧАС группой А изоморфна подгруппе регулярного венок А WrЧАС. Теорема названа в честь того, что группа А WrЧАС как говорят универсальный относительно всех расширений ЧАС к А.

Заявление

Позволять ЧАС и А быть группами, пусть K = А^ЧАС быть набором всех функций из ЧАС к А, и рассмотрим действие из ЧАС на себя правильным умножением. Это действие естественным образом распространяется на действие ЧАС на K определяется ${\displaystyle \phi (g).h=\phi (gh^{-1}),}$ куда ${\displaystyle \phi \in K,}$ и грамм и час оба в ЧАС. Это автоморфизм K, поэтому мы можем определить полупрямое произведение K ⋊ ЧАС называется обычный венок, и обозначил А WrЧАС или же ${\displaystyle A\wr H.}$ Группа K = А^ЧАС (который изоморфен ${\displaystyle \{(f_{x},1)\in A\wr H:x\in K\}}$) называется базовая группа венка.

В Универсальная теорема вложения Краснера – Калужнина. заявляет, что если грамм имеет нормальная подгруппа А и ЧАС = грамм/А, тогда есть инъективный гомоморфизм групп ${\displaystyle \theta :G\to A\wr H}$ такой, что А карты сюръективно на ${\displaystyle {\text{im}}(\theta )\cap K.}$^[2] Это эквивалентно сплетению А WrЧАС имеющий подгруппу, изоморфную грамм, куда грамм любое расширение ЧАС к А.

Доказательство

Это доказательство принадлежит Диксон-Мортимер.^[3]

Определить гомоморфизм ${\displaystyle \psi :G\to H}$ чье ядро А. Выбрать набор ${\displaystyle T=\{t_{u}:u\in H\}}$ из (правых) смежных представителей А в грамм, куда ${\displaystyle \psi (t_{u})=u.}$ Тогда для всех Икс в грамм, ${\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}\in \ker \psi =A.}$ Для каждого Икс в грамм, мы определяем функцию ж_Икс: ЧАС → А такой, что ${\displaystyle f_{x}(u)=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}.}$ Тогда вложение ${\displaystyle \theta }$ дан кем-то ${\displaystyle \theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.}$

Теперь докажем, что это гомоморфизм. Если Икс и у находятся в грамм, тогда ${\displaystyle \theta (x)\theta (y)=(f_{x}(f_{y}.\psi (x)^{-1}),\psi (xy)).}$ Сейчас же ${\displaystyle f_{y}(u).\psi (x)^{-1}=f_{y}(u\psi (x)),}$ так для всех ты в ЧАС,

${\displaystyle f_{x}(u)(f_{y}(u).\psi (x))=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}t_{u\psi (x)}yt_{u\psi (x)\psi (y)}^{-1}=t_{u}xyt_{u\psi (xy)}^{-1},}$

так ж_Икс ж_у = ж_ху. Следовательно ${\displaystyle \theta }$ является требуемым гомоморфизмом.

Гомоморфизм инъективен. Если ${\displaystyle \theta (x)=\theta (y),}$ тогда оба ж_Икс(ты) = ж_у(ты) (для всех ты) и ${\displaystyle \psi (x)=\psi (y).}$ потом ${\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u}yt_{u\psi (y)}^{-1},}$ но мы можем отменить т_ты и ${\displaystyle t_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u\psi (y)}^{-1}}$ с обеих сторон, поэтому Икс = у, следовательно ${\displaystyle \theta }$ инъективно. Ну наконец то, ${\displaystyle \theta (x)\in K}$ именно когда ${\displaystyle \psi (x)=1,}$ другими словами, когда ${\displaystyle x\in A}$ (в качестве ${\displaystyle A=\ker \psi }$).

Обобщения и связанные результаты

• В Теорема Крона – Родса - утверждение, подобное универсальной теореме вложения, но для полугруппы. Полугруппа S это делитель полугруппы Т если это изображение из подполугруппа из Т при гомоморфизме. Теорема утверждает, что каждая конечная полугруппа S является дивизором конечного знакопеременного сплетения конечных простые группы (каждый из которых является делителем S) и конечный апериодические полугруппы.
• Существует альтернативная версия теоремы, для которой требуется только группа грамм и подгруппа А (не обязательно нормально).^[4] В этом случае, грамм изоморфна подгруппе регулярного сплетения А Wr (грамм/Основной(А)).

Рекомендации

1. Калужнин и Краснер (1951a).
2. Диксон и Мортимер (1996), п. 47).
3. Диксон и Мортимер (1996) С. 47–48).
4. Калужнин и Краснер (1951b).

Библиография

• Диксон, Джон; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок. Springer. ISBN  978-0387945996.
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951a). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп II". Acta Sci. Математика. Сегед. 14: 39–66.
• Калужнин, Лев; Краснер, Марк (1951b). "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп III". Acta Sci. Математика. Сегед. 14: 69–82.
• Прегер, Шерил; Шнайдер, Чаба (2018). Группы перестановок и декартовы разложения. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521675062.