Функция урселла - Ursell function

В статистическая механика, Функция урселла или связная корреляционная функция, это кумулянт из случайная переменная. Часто его можно получить, суммируя по связанным Диаграммы Фейнмана (сумма по всем диаграммам Фейнмана дает корреляционные функции ).

Функция Ursell была названа в честь Гарольд Урселл, который представил его в 1927 году.

Определение

Если Икс случайная величина, моменты s_п и кумулянты (такие же, как функции Урселла) ты_п являются функциями Икс связанные с экспоненциальная формула:

${displaystyle operatorname {E} (exp(zX))=sum _{n}s_{n}{frac {z^{n}}{n!}}=exp left(sum _{n}u_{n}{frac {z^{n}}{n!}}ight)}$

(где ${displaystyle operatorname {E} }$ это ожидание ).

Функции Урселла для многомерных случайных величин определяются аналогично описанному выше и таким же образом, как и многомерные кумулянты.^[1]

${displaystyle u_{n}left(X_{1},ldots ,X_{n}ight)=left.{frac {partial }{partial z_{1}}}cdots {frac {partial }{partial z_{n}}}log operatorname {E} left(exp sum z_{i}X_{i}ight)ight|_{z_{i}=0}}$

Функции Урселла одной случайной величины Икс получены из них, установив Икс = Икс₁ = … = Икс_п.

Первые несколько даны

${displaystyle {egin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&operatorname {E} (X_{1})u_{2}(X_{1},X_{2})={}&operatorname {E} (X_{1}X_{2})-operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2})u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2}X_{3})-operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{3}X_{1})-operatorname {E} (X_{3})operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{3})u_{4}left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}ight)={}&operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})-operatorname {E} (X_{3})operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-operatorname {E} (X_{4})operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})&-operatorname {E} (X_{1}X_{2})operatorname {E} (X_{3}X_{4})-operatorname {E} (X_{1}X_{3})operatorname {E} (X_{2}X_{4})-operatorname {E} (X_{1}X_{4})operatorname {E} (X_{2}X_{3})&+2operatorname {E} (X_{1}X_{2})operatorname {E} (X_{3})operatorname {E} (X_{4})+2operatorname {E} (X_{1}X_{3})operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{4})+2operatorname {E} (X_{1}X_{4})operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{3})+2operatorname {E} (X_{2}X_{3})operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{4})&+2operatorname {E} (X_{2}X_{4})operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{3})+2operatorname {E} (X_{3}X_{4})operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2})-6operatorname {E} (X_{1})operatorname {E} (X_{2})operatorname {E} (X_{3})operatorname {E} (X_{4})end{aligned}}}$

Характеристика

Перкус (1975) показали, что функции Урселла, рассматриваемые как полилинейные функции нескольких случайных величин, однозначно определяются с точностью до константы тем фактом, что они обращаются в нуль всякий раз, когда переменные Икс_я можно разделить на два непустых независимых множества.

Смотрите также

• Кумулянт

использованная литература

1. Шлосман, С. Б. (1986). «Признаки функции Урселла модели Изинга». Коммуникации по математической физике. 102 (4): 679–686. Bibcode:1985CMaPh.102..679S. Дои:10.1007 / BF01221652. S2CID  122963530.

• Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96476-8, Г-Н  0887102
• Перкус, Дж. К. (1975), "Корреляционные неравенства для спиновых решеток Изинга", Comm. Математика. Phys., 40 (3): 283–308, Bibcode:1975CMaPh..40..283P, Дои:10.1007 / bf01610004, Г-Н  0378683, S2CID  120940116
• Урселл, Х. Д. (1927), "Оценка фазового интеграла Гиббса для несовершенных газов", Proc. Cambridge Philos. Soc., 23 (6): 685–697, Bibcode:1927PCPS ... 23..685U, Дои:10.1017 / S0305004100011191