Корреляционная функция - Correlation function

Визуальное сравнение свертка, взаимная корреляция и автокорреляция.

А корреляционная функция это функция что дает статистические корреляция между случайные переменные, в зависимости от пространственного или временного расстояния между этими переменными. Если рассматривать корреляционную функцию между случайными величинами, представляющими одну и ту же величину, измеренную в двух разных точках, то это часто называют автокорреляционная функция, который состоит из автокорреляции. Корреляционные функции разных случайных величин иногда называют кросс-корреляционные функции чтобы подчеркнуть, что рассматриваются разные переменные, и потому что они состоят из взаимные корреляции.

Функции корреляции являются полезным индикатором зависимостей как функции расстояния во времени или пространстве, и их можно использовать для оценки расстояния, необходимого между точками выборки, чтобы значения были эффективно некоррелированы. Кроме того, они могут составлять основу правил интерполяции значений в точках, для которых нет наблюдений.

Корреляционные функции, используемые в астрономия, финансовый анализ, эконометрика, и статистическая механика различаются только конкретными случайными процессами, к которым они применяются. В квантовая теория поля Существуют корреляционные функции по квантовым распределениям.

Определение

Для возможных различных случайных величин Икс(s) и Y(т) в разных точках s и т некоторого пространства корреляционная функция

{ Displaystyle С (s, t) = operatorname {corr} (X (s), Y (t)),}

куда ${ displaystyle operatorname {corr}}$ описано в статье о корреляция. В этом определении предполагается, что стохастические переменные имеют скалярные значения. Если это не так, можно определить более сложные корреляционные функции. Например, если Икс(s) это случайный вектор с п элементы и Y(t) - вектор с q элементы, затем п×q матрица корреляционных функций определяется как ${ displaystyle i, j}$ элемент

{ displaystyle C_ {ij} (s, t) = operatorname {corr} (X_ {i} (s), Y_ {j} (t)).}

Когда п=q, иногда след этой матрицы ориентирована на. Если распределения вероятностей имеют любые симметрии целевого пространства, т.е. симметрии в пространстве значений стохастической переменной (также называемой внутренние симметрии), то корреляционная матрица будет иметь индуцированные симметрии. Аналогичным образом, если существуют симметрии пространственной (или временной) области, в которой существуют случайные величины (также называемые симметрии пространства-времени), то корреляционная функция будет иметь соответствующую пространственную или временную симметрию. Примеры важных пространственно-временных симметрий:

поступательная симметрия дает C(s,s') = C(s − s') куда s и s'следует интерпретировать как векторы, задающие координаты точек
вращательная симметрия в дополнение к вышесказанному дает C(s, s') = C(|s − s'|) где |Икс| обозначает норму вектора Икс (для реальных вращений это евклидова или 2-норма).

Часто определяются корреляционные функции более высокого порядка. Типичная корреляционная функция порядка п есть (угловые скобки обозначают ожидаемое значение )

{ displaystyle C_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}} (s_ {1}, s_ {2}, cdots, s_ {n}) = langle X_ {i_ {1}} ( s_ {1}) X_ {i_ {2}} (s_ {2}) cdots X_ {i_ {n}} (s_ {n}) rangle.}

Если случайный вектор имеет только одну компонентную переменную, то индексы ${ displaystyle i, j}$ избыточны. Если есть симметрии, то корреляционную функцию можно разбить на неприводимые представления симметрий - как внутренних, так и пространственно-временных.

Свойства вероятностных распределений

С этими определениями изучение корреляционных функций похоже на изучение распределения вероятностей. Многие случайные процессы могут быть полностью охарактеризованы их корреляционными функциями; наиболее ярким примером является класс Гауссовские процессы.

Распределения вероятностей, определенные для конечного числа точек, всегда можно нормализовать, но когда они определены в непрерывных пространствах, требуется особая осторожность. Изучение таких распределений началось с изучения случайные прогулки и привели к понятию It исчисление.

Фейнман интеграл по путям в евклидовом пространстве обобщает это на другие интересующие проблемы статистическая механика. Любое распределение вероятностей, которое подчиняется условию на корреляционные функции, называемое позитивное отражение ведет к местному квантовая теория поля после Вращение фитиля к Пространство-время Минковского ( видеть Аксиомы Остервальдера-Шрадера ). Работа перенормировка - это заданный набор отображений из пространства вероятностных распределений в себя. А квантовая теория поля называется перенормируемым, если это отображение имеет неподвижную точку, которая дает квантовую теорию поля.

Корреляционная функция - Correlation function

Определение

Свойства вероятностных распределений

Смотрите также