Вариационный интегратор - Variational integrator

Вариационные интеграторы находятся числовые интеграторы за Гамильтоновы системы полученный из Уравнения Эйлера – Лагранжа. дискретизированного Принцип Гамильтона. Вариационные интеграторы сохраняют импульс и симплектический.

Вывод простого вариационного интегратора.

Рассмотрим механическую систему с одночастичной степенью свободы, описываемой лагранжианом

${displaystyle L(t,q,v)={frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),}$

куда ${displaystyle m}$ - масса частицы, а ${displaystyle V}$ это потенциал. Чтобы построить вариационный интегратор для этой системы, начнем с формирования дискретный лагранжиан. Дискретный лагранжиан аппроксимирует действие системы за короткий промежуток времени:

${displaystyle {egin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={frac {t_{1}-t_{0}}{2}}left[Lleft(t_{0},q_{0},{frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}ight)+Lleft(t_{1},q_{1},{frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}ight)ight]&approx int _{t_{0}}^{t_{1}},dt,L(t,q(t),v(t)).end{aligned}}}$

Здесь мы решили аппроксимировать интеграл по времени, используя метод трапеции, и мы используем линейное приближение к траектории,

${displaystyle q(t)approx {frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}}$

между ${displaystyle t_{0}}$ и ${displaystyle t_{1}}$, что приводит к постоянной скорости ${displaystyle vapprox left(q_{1}-q_{0}ight)/left(t_{1}-t_{0}ight)}$. Различные варианты аппроксимации траектории и интеграла по времени дают разные вариационные интеграторы. Порядок точности интегратора контролируется точностью нашего приближения к действию; поскольку

${displaystyle S_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=int _{t_{0}}^{t_{1}},dt,L(t,q(t),v(t))+{mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},}$

наш интегратор будет иметь второй порядок точности.

Уравнения эволюции дискретной системы могут быть выведены из принципа стационарного действия. Дискретное действие на расширенном временном интервале представляет собой сумму дискретных лагранжианов на множестве подинтервалов:

${displaystyle S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+cdots .}$

Принцип стационарного действия утверждает, что действие стационарно по отношению к вариациям координат, которые оставляют конечные точки траектории фиксированными. Итак, варьируя координату ${displaystyle q_{1}}$, у нас есть

${displaystyle {frac {partial S_{d}}{partial q_{1}}}=0={frac {partial }{partial q_{1}}}L_{d}left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}ight)+{frac {partial }{partial q_{1}}}L_{d}left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}ight).}$

Учитывая начальное состояние ${displaystyle (q_{0},q_{1})}$, и последовательность раз ${displaystyle (t_{0},t_{1},t_{2})}$ это обеспечивает соотношение, которое может быть решено для ${displaystyle q_{2}}$. Решение

${displaystyle q_{2}=q_{1}+{frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$

Мы можем записать это в более простой форме, если мы определим дискретные импульсы,

${displaystyle p_{0}equiv -{frac {partial }{partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})}$

и

${displaystyle p_{1}equiv {frac {partial }{partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).}$

Учитывая начальное состояние ${displaystyle (q_{0},p_{0})}$, условие стационарного действия эквивалентно решению первого из этих уравнений относительно ${displaystyle q_{1}}$, а затем определяя ${displaystyle p_{1}}$ используя второе уравнение. Эта схема эволюции дает

${displaystyle q_{1}=q_{0}+{frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})}$

и

${displaystyle p_{1}=m{frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$

Это чехарда интеграции схема для системы; два шага этой эволюции эквивалентны приведенной выше формуле для ${displaystyle q_{2}}$

Смотрите также

• Интегратор групп Ли

Рекомендации

• Э. Хайрер, К. Любич и Г. Ваннер. Геометрическое численное интегрирование. Спрингер, 2002.
• Дж. Марсден и М. Вест. Дискретная механика и вариационные интеграторы. Acta Numerica, 2001, стр. 357–514.