Модель ветровой турбулентности фон Кармана - Von Kármán wind turbulence model

В модель ветровой турбулентности фон Кармана (также известен как фон Карман порывы) представляет собой математическую модель постоянные порывы ветра. Он лучше соответствует наблюдаемым непрерывным порывам Модель турбулентности ветра Драйдена^[1] и является предпочтительной моделью Министерство обороны США в большинстве приложений для проектирования и моделирования самолетов.^[2] Модель фон Кармана рассматривает компоненты линейной и угловой скорости непрерывных порывов ветра как пространственно изменяющиеся случайные процессы и определяет каждый компонент спектральная плотность мощности. Модель турбулентности ветра фон Кармана характеризуется иррациональный спектральные плотности мощности, поэтому фильтры могут быть сконструированы так, чтобы белый шум входные и выходные случайные процессы с приближенными спектральными плотностями мощности порывов фон Кармана.

История

Модель турбулентности ветра фон Кармана впервые появилась в 1957 г. NACA отчет^[3] на основе более ранней работы Теодор фон Карман.^[4][5][6]

Спектральные плотности мощности

Модель фон Кармана характеризуется спектральными плотностями мощности для трех линейных компонент скорости порывов (ты_грамм,v_грамм,ш_грамм),

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{u_{g}}(\Omega )&=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{\left(1+(1.339L_{u}\Omega )^{2}\right)^{\frac {5}{6}}}}\\\Phi _{v_{g}}(\Omega )&=\sigma _{v}^{2}{\frac {2L_{v}}{\pi }}{\frac {1+{\frac {8}{3}}(2.678L_{v}\Omega )^{2}}{\left(1+(2.678L_{v}\Omega )^{2}\right)^{\frac {11}{6}}}}\\\Phi _{w_{g}}(\Omega )&=\sigma _{w}^{2}{\frac {2L_{w}}{\pi }}{\frac {1+{\frac {8}{3}}(2.678L_{w}\Omega )^{2}}{\left(1+(2.678L_{w}\Omega )^{2}\right)^{\frac {11}{6}}}}\end{aligned}}}$

куда σ_я и L_я - интенсивность турбулентности и масштабная длина соответственно для я-й компонент скорости, и Ω - пространственная частота.^[2] Эти спектральные плотности мощности дают пространственные вариации случайного процесса, но любые временные вариации зависят от движения транспортного средства через поле скорости порыва. Скорость, с которой автомобиль движется через поле порывов ветра. V позволяет преобразовывать эти спектральные плотности мощности в различные типы частот,^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\omega }{V}}\\\Phi _{i}(\Omega )&=V\Phi _{i}\left(\omega \right)\end{aligned}}}$

где ω имеет единицы радиан в единицу времени.

Компоненты угловой скорости порыва (п_грамм,q_грамм,р_грамм) определяются как вариации составляющих линейной скорости вдоль различных осей транспортного средства,

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial y}}\\q_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial x}}\\r_{g}&=-{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}\end{aligned}}}$

хотя в некоторых источниках могут использоваться разные обозначения. Спектральные плотности мощности для компонент угловой скорости равны^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{p_{g}}(\omega )&={\frac {\sigma _{w}^{2}}{2VL_{w}}}{\frac {0.8\left({\frac {2\pi L_{w}}{4b}}\right)^{\frac {1}{3}}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\\\Phi _{q_{g}}(\omega )&={\frac {\pm \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{w_{g}}(\omega )\\\Phi _{r_{g}}(\omega )&={\frac {\mp \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {3b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{v_{g}}(\omega )\end{aligned}}}$

В военных спецификациях указаны критерии, основанные на автомобиле производные стабильности для определения значимости компонентов угловой скорости порыва.^[9]

Спектральная факторизация

Порывы, создаваемые моделью фон Кармана, не являются белый шум процесс и поэтому может называться цветной шум. Цветной шум в некоторых случаях может возникать на выходе минимальная фаза линейный фильтр посредством процесса, известного как спектральная факторизация. Рассмотрим линейная инвариантная во времени система с входом белого шума, который имеет единицу отклонение, функция передачи грамм(s), а вывод у(т). Спектральная плотность мощности у(т) является

${\displaystyle \Phi _{y}(\omega )=|G(i\omega )|^{2}}$

куда я² = -1. Для иррациональных спектральных плотностей мощности, таких как модель фон Кармана, может быть найдена подходящая передаточная функция, квадрат величины которой, вычисленный вдоль мнимой оси, аппроксимирует спектральную плотность мощности. В MATLAB документация обеспечивает реализацию такой передаточной функции для порывов фон Кармана, которая соответствует военным спецификациям,^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{u_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{u}{\sqrt {\frac {2L_{u}}{\pi V}}}\left(1+0.25{\frac {L_{u}}{V}}s\right)}{1+1.357{\frac {L_{u}}{V}}s+0.1987\left({\frac {L_{u}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{v_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{v}{\sqrt {\frac {2L_{v}}{\pi V}}}\left(1+2.7478{\frac {2L_{v}}{V}}s+0.3398\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}\right)}{1+2.9958{\frac {2L_{v}}{V}}s+1.9754\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}+0.1539\left({\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{3}}}\\G_{w_{g}}(s)&={\frac {\sigma _{w}{\sqrt {\frac {2L_{w}}{\pi V}}}\left(1+2.7478{\frac {2L_{w}}{V}}s+0.3398\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}\right)}{1+2.9958{\frac {2L_{w}}{V}}s+1.9754\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}+0.1539\left({\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{3}}}\\G_{p_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {0.8}{V}}}{\frac {\left({\frac {\pi }{4b}}\right)^{\frac {1}{6}}}{(2L_{w})^{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {4b}{\pi V}}s\right)}}\\G_{q_{g}}(s)&={\frac {\pm {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {4b}{\pi V}}s}}G_{w_{g}}(s)\\G_{r_{g}}(s)&={\frac {\mp {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {3b}{\pi V}}s}}G_{v_{g}}(s)\end{aligned}}}$

Использование этих фильтров с независимым, единичным отклонением, белым шумом с ограниченной полосой дает выходные данные со спектральными плотностями мощности, которые аппроксимируют спектральные плотности мощности компонентов скорости модели фон Кармана. Выходы, в свою очередь, могут использоваться в качестве входов возмущений ветра для самолетов или других динамических систем.^[10]

Зависимость от высоты

Дальнейшая информация: Непрерывные порывы ветра § Зависимость от высоты

Модель фон Кармана параметризуется масштабом длины и интенсивностью турбулентности. Комбинация этих двух параметров определяет форму спектральных плотностей мощности и, следовательно, качество соответствия модели спектрам наблюдаемой турбулентности. Многие комбинации масштаба длины и интенсивности турбулентности дают реалистичные спектральные плотности мощности в желаемых диапазонах частот.^[1] Спецификации Министерства обороны включают выбор обоих параметров, включая их зависимость от высоты.^[11]

Смотрите также

• Непрерывные порывы
• Модель турбулентности ветра Драйдена

Примечания

1. Хоблит 1988, Гл. 4.
2. MIL-STD-1797A 1990 г., п. 678.
3. Дидрих, Франклин В .; Джозеф А. Дришлер (1957). «Влияние колебаний интенсивности порывов на подъемную силу из-за атмосферной турбулентности»: NACA TN 3920.
4. де Карман, Теодор; Лесли Ховарт (1938). «К статистической теории изотропной турбулентности». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 164 (917): 192–215. Bibcode:1938RSPSA.164..192D. Дои:10.1098 / rspa.1938.0013.
5. фон Карман, Теодор (1948). «Прогресс в статистической теории турбулентности». Труды Национальной академии наук. 34 (11): 530–539. Bibcode:1948ПНАС ... 34..530В. Дои:10.1073 / пнас.34.11.530. ЧВК  1079162. PMID  16588830.
6. фон Карман, Т .; Лин, К. С. (1951). «О статистической теории изотропной турбулентности». В фон Мизес, Ричард; фон Карман, Теодор (ред.). Успехи прикладной механики. Academic Press, Inc., стр. 1–19. ISBN  9780080563800.
7. Хоблит 1988, п. ***.
8. "Модель турбулентности ветра фон Кармана (непрерывная)". Справочные страницы MATLAB. MathWorks, Inc., 2010 г.. Получено 24 мая, 2013.
9. MIL-STD-1797A 1990 г., п. 680.
10. Ричардсон 2013, п. 33.
11. MIL-STD-1797A 1990 г., с. 673, 678-685, 702.

Рекомендации

• Хоблит, Фредерик М. (1988). Порывные нагрузки на самолетах: концепции и приложения. Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. ISBN  0930403452.
• MIL-STD-1797A (1990). Летные качества пилотируемых самолетов (PDF). Департамент обороны.
• Ричардсон, Джонхенри (2013). Количественная оценка и масштабирование характеристик самолета в условиях турбулентности (PDF) (Диссертация). Университет Мичигана.