Вихревой лист - Vortex sheet - Wikipedia

А вихревой лист это термин, используемый в механика жидкости для поверхности, на которой есть прерывность в скорость жидкости, например, при скольжении одного слоя жидкости над другим.^[1] В то время как тангенциальный компоненты скорости потока через вихревую пелену прерывистые, нормальный составляющая скорости потока непрерывна. Разрыв тангенциальной скорости означает, что поток имеет бесконечное завихренность на вихревой пластине.

На высоком Числа Рейнольдса, вихревые листы неустойчивы. В частности, они могут выставлять Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца.

Формулировка уравнения движения вихревой пелены дается в терминах комплексной координаты ${\displaystyle z=x+iy}$. Лист описывается параметрически ${\displaystyle z(s,t)}$ куда ${\displaystyle s}$ длина дуги между координатами ${\displaystyle z}$ и ориентир, и ${\displaystyle t}$ время. Позволять ${\displaystyle \gamma (s,t)}$ обозначают прочность листа, то есть скачок тангенциального разрыва. Тогда индуцированное листом поле скорости равно

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

Интеграл в приведенном выше уравнении представляет собой интеграл Коши с главным значением. Теперь определим ${\displaystyle \Gamma }$ как интегрированная прочность листа или циркуляция между точкой с длиной дуги ${\displaystyle s}$ и точка справочного материала ${\displaystyle s=0}$ в листе.

${\displaystyle \Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)}$

Как следствие теоремы Кельвина о циркуляции, при отсутствии внешних сил на листе циркуляция между любыми двумя материальными точками в листе сохраняется, поэтому ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0}$. Уравнение движения листа можно переписать в терминах ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle t}$ заменой переменной. Параметр ${\displaystyle s}$ заменяется на ${\displaystyle \Gamma }$. То есть,

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}}$

Это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение называется уравнением Биркоффа-Ротта. Он описывает эволюцию вихревой пелены при начальных условиях. Более подробную информацию о вихревых листах можно найти в учебнике Саффмана (1977).

Распространение вихревой пелены

Как только вихревой лист, он будет диффундировать из-за вязкого действия. Рассмотрим плоский однонаправленный поток при ${\displaystyle t=0}$,

${\displaystyle u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{for }}y<0\end{cases}}}$

подразумевая наличие вихревой пелены на ${\displaystyle y=0}$. Скачок скорости сглаживается согласно^[2]

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-(s-y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s\right].}$

куда ${\displaystyle \nu }$ это кинематическая вязкость. Единственная ненулевая компонента завихренности находится в ${\displaystyle z}$ направление, данное

${\displaystyle \omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}}$.

Вихревой лист с периодическими границами

Плоский вихревой лист с периодическими границами в продольном направлении может использоваться для моделирования временного слоя свободного сдвига при высоком числе Рейнольдса. Предположим, что интервал между периодическими границами имеет длину ${\displaystyle 1}$. Тогда уравнение движения вихревой пелены сводится к

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '}$

Аппроксимация непрерывной вихревой пелены панельным методом. Сворачивание вихревой пелены из-за начального синусоидального возмущения.

Обратите внимание, что интеграл в приведенном выше уравнении является интегралом Коши с главным значением. Начальное условие для плоской вихревой пелены постоянной прочности: ${\displaystyle z(\Gamma ,0)=\Gamma }$. Плоская вихревая пелена - это равновесное решение. Однако он неустойчив к бесконечно малым периодическим возмущениям вида ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }}$. Линейная теория показывает, что коэффициент Фурье ${\displaystyle A_{k}}$ растет экспоненциально со скоростью, пропорциональной ${\displaystyle k}$. То есть, чем выше волновое число моды Фурье, тем быстрее она растет. Однако линейная теория не может быть расширена далеко за пределы начального состояния. Если учитывать нелинейные взаимодействия, асимптотический анализ показывает, что для больших ${\displaystyle k}$ и конечный ${\displaystyle t<t_{c}}$, куда ${\displaystyle t_{c}}$ - критическое значение, коэффициент Фурье ${\displaystyle A_{k}}$ затухает экспоненциально. Ожидается, что решение вихревой пелены потеряет аналитичность в критический момент времени. См. Мур (1979) и Мейрон, Бейкер и Орзаг (1983).

Решение вихревой пелены, заданное уравнением Биркоффа-Ротта, не может выходить за пределы критического времени. Самопроизвольная потеря аналитичности вихревой пелены является следствием математического моделирования, поскольку реальная жидкость с вязкостью, какой бы малой она ни была, никогда не будет иметь сингулярности. Вязкость в реальной жидкости действует как параметр сглаживания или регуляризации. Были проведены обширные исследования вихревой пелены, большинство из них с помощью приближения дискретных или точечных вихрей, с десингуляризацией или без нее. Используя приближение точечных вихрей и дельта-регуляризацию, Красный (1986) получил плавное сворачивание вихревой пелены в двойную разветвленную спираль. Поскольку точечные вихри по своей природе хаотичны, необходим фильтр Фурье для контроля роста ошибок округления. Непрерывная аппроксимация вихревого полотна вихревыми панелями с дуговым распределением плотности циркуляции также показывает, что лист сворачивается в двойную разветвленную спираль.

Во многих инженерных и физических приложениях представляет интерес рост временного слоя свободного сдвига. Толщина слоя свободного сдвига обычно измеряется толщиной импульса, которая определяется как

${\displaystyle \theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y}$

куда ${\displaystyle \left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx}$ и ${\displaystyle U}$ - скорость набегающего потока. Толщина импульса имеет размерность длины, а толщина безразмерного импульса определяется выражением ${\displaystyle \theta _{ND}=\theta /L}$. Толщина импульса может использоваться для измерения толщины вихревого слоя.

Смотрите также

• Вихревое кольцо

Рекомендации

1. Словарь научных и технических терминов Макгроу-Хилла Проверено июль 2012 г.
2. Дразин, П. Г., и Райли, Н. (2006). Уравнения Навье-Стокса: классификация потоков и точные решения (№ 334). Издательство Кембриджского университета.