Модель избирателя - Voter model - Wikipedia

В математической теории вероятность, то модель избирателя является система взаимодействующих частиц представленный Ричардом А. Холли и Томас М. Лиггетт в 1975 г.^[1].

модель избирателя сосуществует на графике с двумя кластерами

Можно представить себе, что есть «избиратель» в каждой точке связного графа, где связи указывают на наличие некоторой формы взаимодействия между парой избирателей (узлов). Мнение любого избирателя по какому-либо вопросу меняется в случайные моменты под влиянием мнения его соседей. Мнение избирателя в любой момент времени может принимать одно из двух значений, обозначенных 0 и 1. В случайные моменты времени выбирается случайный человек, и мнение этого избирателя изменяется согласно стохастическому правилу. В частности, для одного из соседей выбранного избирателя выбирается^{[требуется разъяснение ]} согласно заданному набору вероятностей, и мнение этого человека передается выбранному избирателю.

Альтернативная интерпретация - в терминах пространственного конфликта. Предположим, что две страны контролируют области (наборы узлов), помеченные 0 или 1. Переход от 0 к 1 в данном месте указывает на вторжение в это место другой нацией.

Обратите внимание, что каждый раз происходит только один переворот. Проблемы, связанные с моделью избирателя, часто будут преобразованы в двойную систему.^{[требуется разъяснение ]} объединения^{[требуется разъяснение ]} Цепи Маркова. Часто эти проблемы затем сводятся к другим, связанным с независимыми цепями Маркова.

Определение

Модель избирателя - это (непрерывный) марковский процесс. ${\displaystyle \eta _{t}}$ с пространством состояний ${\displaystyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$ и функции переходов ${\displaystyle c(x,\eta )}$, куда ${\displaystyle Z^{d}}$ является d-мерной целочисленной решеткой, а ${\displaystyle c(}$•,•${\displaystyle )}$ считается неотрицательной, равномерно ограниченной и непрерывной как функция ${\displaystyle \eta }$ в топологии продукта на ${\displaystyle S}$. Каждый компонент ${\displaystyle \eta \in S}$ называется конфигурацией. Чтобы было ясно, что ${\displaystyle \eta (x)}$ обозначает значение сайта x в конфигурации ${\displaystyle \eta (.)}$; пока ${\displaystyle \eta _{t}(x)}$ означает значение сайта x в конфигурации ${\displaystyle \eta (.)}$ вовремя ${\displaystyle t}$.

Динамика процесса определяется набором переходные ставки. Для моделей избирателей скорость, с которой происходит переворот ${\displaystyle \scriptstyle x}$ от 0 до 1 или наоборот задается функцией ${\displaystyle c(x,\eta )}$ сайта ${\displaystyle x}$. Обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle c(x,\eta )=0}$ для каждого ${\displaystyle x\in Z^{d}}$ если ${\displaystyle \eta \equiv 0}$ или если ${\displaystyle \eta \equiv 1}$
2. ${\displaystyle c(x,\eta )=c(x,\zeta )}$ для каждого ${\displaystyle x\in Z^{d}}$ если ${\displaystyle \eta (y)+\zeta (y)=1}$ для всех ${\displaystyle y\in Z^{d}}$
3. ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$ если ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ и ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$
4. ${\displaystyle c(x,\eta )}$ инвариантен относительно сдвигов в ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

Свойство (1) говорит, что ${\displaystyle \eta \equiv 0}$ и ${\displaystyle \eta \equiv 1}$ являются неподвижными точками эволюции. (2) указывает на то, что эволюция не изменилась, если поменять местами нули и единицы. В свойстве (3) ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ средства ${\displaystyle \forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)}$, и ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ подразумевает ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$ если ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$, и подразумевает ${\displaystyle c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )}$ если ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=1}$.

Кластеризация и сосуществование

Что нас интересует, так это предельное поведение моделей. Поскольку скорость просмотра сайта зависит от его соседей, очевидно, что когда все сайты принимают одно и то же значение, вся система перестает изменяться навсегда. Следовательно, модель избирателя имеет два тривиальных экстремальных стационарных распределения, точечные массы ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{0}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{1}}$ на ${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 0}$ или же ${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 1}$ соответственно, которые представляют собой консенсус. Главный вопрос, который мы обсудим, заключается в том, существуют ли другие, которые в таком случае представляли бы сосуществование различных мнений в равновесии. Мы говорим что сосуществование возникает, если существует стационарное распределение, которое концентрируется на конфигурациях с бесконечным количеством нулей и единиц. С другой стороны, если для всех ${\displaystyle \scriptstyle x,y\in Z^{d}}$ и все начальные конфигурации, мы имеем:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=0}$

мы скажем, что кластеризация происходит.

Важно различать кластеризация с концепцией кластер. Кластеры определены как компоненты связности ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$ или же ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$.

Линейная модель избирателя

Описание модели

Этот раздел будет посвящен одной из основных моделей избирателей - линейной модели избирателя.

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle p(}$•,•${\displaystyle \scriptstyle )}$ - вероятности перехода для неприводимого случайная прогулка на ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$,и у нас есть:

${\displaystyle p(x,y)\geq 0\quad {\text{and}}\sum _{y}p(x,y)=1}$

Тогда в линейной модели избирателя коэффициенты перехода являются линейными функциями от ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.}$

Или если мы используем ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$ чтобы указать, что на сайте происходит переворот ${\displaystyle \scriptstyle x}$, коэффициенты перехода просто:

${\displaystyle \eta \rightarrow \eta _{x}\quad {\text{at rate}}\sum _{y:\eta (y)\neq \eta (x)}p(x,y).}$

Мы определяем процесс объединения случайных блужданий ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}\subset Z^{d}}$ следующее. Здесь ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$ обозначает набор сайтов, занятых этими случайными блужданиями в момент времени ${\displaystyle \scriptstyle t}$. Определять ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$, рассмотрим несколько (непрерывное время) случайных блужданий по ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ с единичными экспоненциальными временами удержания и вероятностями перехода ${\displaystyle \scriptstyle p(}$•,•${\displaystyle \scriptstyle )}$, и считать их независимыми, пока двое из них не встретятся. В это время две встречные частицы сливаются в одну частицу, которая продолжает двигаться как случайное блуждание с вероятностями перехода. ${\displaystyle \scriptstyle p(}$•,•${\displaystyle \scriptstyle )}$ .

Концепция чего-либо Двойственность важен для анализа поведения моделей избирателей. Линейные модели избирателей удовлетворяют очень полезной форме двойственности, известной как объединяющая двойственность, который:

${\displaystyle P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad {\text{on }}A)=P^{A}(\eta (A_{t})\equiv 1),}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}}$ это начальная конфигурация ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}}$ начальное состояние сливающихся случайных блужданий ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$.

Ограничение поведения линейных моделей избирателей

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)}$ - вероятности перехода для неприводимого случайного блуждания на ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)}$, то соотношение двойственности для таких линейных моделей избирателей говорит, что ${\displaystyle \scriptstyle \forall \eta \in S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ (непрерывное время) случайные блуждания по ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ с ${\displaystyle \scriptstyle X_{0}=x}$, ${\displaystyle \scriptstyle Y_{0}=y}$, и ${\displaystyle \scriptstyle \eta (X_{t})}$ позиция, занятая случайным блужданием во время ${\displaystyle \scriptstyle t}$. ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ формирует объединяющиеся случайные блуждания, описанные в конце Раздел 2.1. ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ является симметризованным случайным блужданием. Если ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ повторяется и ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$, ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ в конечном итоге попадет с вероятностью 1, и, следовательно,

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\to 0}$

Следовательно, процесс группируется.

С другой стороны, когда ${\displaystyle d\geq 3}$, система сосуществует. Это потому, что для ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$, ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ является кратковременным, поэтому существует положительная вероятность того, что случайные блуждания никогда не попадут в ${\displaystyle \scriptstyle x\neq y}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\rightarrow \infty }P[X_{t}\neq Y_{t}]>0}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$ соответствующее начальному распределению.

Теперь позвольте ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-Y(t)}$ - симметризованное случайное блуждание, справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.1.

Линейная модель избирателя ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ кластеры, если ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ повторяется и сосуществует, если ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ временно. Особенно,

1. кластеры процессов, если ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|p(0,x)\leq \infty }$, или если ${\displaystyle \scriptstyle d=2}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|^{2}p(0,x)\leq \infty }$;
2. процесс сосуществует, если ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$.

Замечания: Чтобы сопоставить это с поведением пороговых моделей избирателей, которые будут обсуждаться в следующем разделе, обратите внимание на то, что кластеры линейной модели избирателя или сосуществуют, почти исключительно зависят от размера набора сайтов, а не от размера диапазона. взаимодействия.

Теорема 2.2.Предполагать ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ есть ли пространственный перевод эргодический и инвариантная вероятностная мера на пространстве состояний ${\displaystyle \scriptstyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$, тогда

1. Если ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ повторяется, то ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$;
2. Если ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ временно, то ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \mu _{\rho }}$.

куда ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)}$ это распределение ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$; ${\displaystyle \scriptstyle \Rightarrow }$ означает слабую сходимость, ${\displaystyle \scriptstyle \mu _{\rho }}$ - нетривиальная экстремальная инвариантная мера и ${\displaystyle \scriptstyle \rho =\mu (\{\eta :\eta (x)=1\})}$.

Специальная линейная модель избирателя

Один из интересных частных случаев линейной модели избирателя, известный как базовый линейная модель избирателя, это модель для пространства состояний ${\displaystyle \scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d}}}$:

${\displaystyle p(x,y)={\begin{cases}1/2d&{\text{if }}|x-y|=1{\text{ and }}\eta (x)\neq \eta (y)\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Так что

${\displaystyle \eta _{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\quad {\text{at rate}}\quad (2d)^{-1}|\{y:|y-x|=1,\eta _{t}(y)\neq \eta _{t}(x)\}|}$

В этом случае процесс кластеризуется, если ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$, а сосуществует, если ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$. Эта дихотомия тесно связана с тем, что простое случайное блуждание по ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ повторяется, если ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$ и переходный, если ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$.

Кластеры в одном измерении d = 1

Для особого случая с ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$, ${\displaystyle \scriptstyle S=Z^{1}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}}$ для каждого ${\displaystyle \scriptstyle x}$. Мы знаем из Теорема 2.2. который ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}}$, поэтому в этом случае происходит кластеризация. Цель этого раздела - дать более точное описание этой кластеризации.

Как упоминалось ранее, кластеры ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ определяются как компоненты связности ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$ или же ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$. В средний размер кластера за ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ определяется как:

${\displaystyle C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{{\text{number of clusters in}}[-n,n]}}}$

при условии, что лимит существует.

Предложение 2.3.

Предположим, что модель избирателя имеет начальное распределение ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ является трансляционно-инвариантной вероятностной мерой, то

${\displaystyle P\left(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}\right)=1.}$

Время занятия

Определите функционалы времени занятости базовой линейной модели избирателя как:

${\displaystyle T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d} s.}$

Теорема 2.4.

Предположим, что для всего узла x и времени t, ${\displaystyle \scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho }$, тогда как ${\displaystyle \scriptstyle t\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle \scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho }$ почти наверняка если ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 2}$

доказательство

К Неравенство Чебышева и Лемма Бореля – Кантелли., мы можем получить уравнение ниже:

${\displaystyle P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1}$

Теорема следует, если положить ${\displaystyle \scriptstyle r\searrow 1}$.

Пороговая модель избирателя

Описание модели

В этом разделе мы сконцентрируемся на разновидности нелинейных моделей избирателей, известных как пороговая модель избирателя.

Чтобы определить это, пусть ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ быть рядом с ${\displaystyle \scriptstyle 0\in Z^{d}}$ который получается пересечением ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ с любым компактным выпуклым симметричным множеством в ${\displaystyle \scriptstyle R^{d}}$; другими словами, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ предполагается, что это конечное множество, которое является симметричным относительно всех отражений и неприводимым (т. е. порождаемая им группа ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$) Мы всегда будем предполагать, что ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ содержит все единичные векторы ${\displaystyle \scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$. Для положительного целого числа ${\displaystyle \scriptstyle T}$, пороговая модель избирателя с соседством ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ и порог ${\displaystyle \scriptstyle T}$ тот, у которого есть функция скорости:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad |\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\}|\geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

Проще говоря, скорость перехода сайта ${\displaystyle \scriptstyle x}$ равно 1, если количество сайтов, которые не принимают одинаковое значение, больше или равно пороговому значению T. В противном случае site ${\displaystyle \scriptstyle x}$ остается в текущем состоянии и не переворачивается.

Например, если ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T=2}$, то конфигурация ${\displaystyle \scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad 0\dots }$ является поглощающим состоянием или ловушкой для процесса.

Ограничение поведения пороговой модели избирателя

Если пороговая модель избирателя не фиксируется, мы должны ожидать, что процесс будет сосуществовать для малого порога и кластера для большого порога, где большие и маленькие интерпретируются как относящиеся к размеру района, ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$. Интуиция подсказывает, что наличие небольшого порога позволяет легко совершать перевороты, поэтому вполне вероятно, что всегда будет много нулей и единиц. Ниже приведены три основных результата:

1. Если ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$, то процесс фиксируется в том смысле, что каждый сайт переворачивается очень часто.
2. Если ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$, то процесс кластеры.
3. Если ${\displaystyle \scriptstyle T=\theta |{\mathcal {N}}|}$ с ${\displaystyle \scriptstyle \theta }$ достаточно маленький (${\displaystyle \scriptstyle \theta <{\frac {1}{4}}}$) и ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$ достаточно большой, то процесс сосуществует.

Вот две теоремы, соответствующие свойствам (1) и (2).

Теорема 3.1.

Если ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$, то процесс фиксируется.

Теорема 3.2.

Пороговая модель избирателя в одном измерении (${\displaystyle \scriptstyle d=1}$) с ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-T,\dots ,T\},T\geq 1}$, кластеры.

доказательство

Идея доказательства состоит в построении двух последовательностей случайных моментов времени ${\displaystyle \scriptstyle U_{n}}$, ${\displaystyle \scriptstyle V_{n}}$ за ${\displaystyle \scriptstyle n\geq 1}$ со следующими свойствами:

1. ${\displaystyle \scriptstyle 0=V_{0}<U_{1}<V_{1}<U_{2}<V_{2}<\dots }$,
2. ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}}$ i.i.d. с ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty }$,
3. ${\displaystyle \scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}}$ i.i.d. с ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty }$,
4. случайные величины в (b) и (c) не зависят друг от друга,
5. событие A =${\displaystyle \scriptstyle \{\eta _{t}(.)}$ постоянно на ${\displaystyle \scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}}$, и событие A выполняется для каждого ${\displaystyle \scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]}$.

Как только эта конструкция будет построена, из теории восстановления будет следовать, что

${\displaystyle P(A)\geq P(t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}])\to 1\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$

Следовательно,${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(\eta _{t}(1)\neq \eta _{t}(0))=0}$, так что процесс группируется.

Примечания: (а) Пороговые модели в более высоких измерениях не обязательно группируются, если ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$. Например, возьмите ${\displaystyle \scriptstyle d=2,T=2}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$. Если ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ постоянно на чередующихся вертикальных бесконечных полосах, то есть для всех ${\displaystyle \scriptstyle i,j}$:

${\displaystyle \eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\quad \eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0}$

тогда никакого перехода не происходит, и процесс фиксируется.

(б) При предположении Теорема 3.2., процесс не фиксируется. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим начальную конфигурацию ${\displaystyle \scriptstyle \dots 000111\dots }$, в котором за бесконечно большим числом нулей следует бесконечно много единиц. Тогда только ноль и единица на границе могут переворачиваться, так что конфигурация всегда будет выглядеть одинаково, за исключением того, что граница будет двигаться как простое симметричное случайное блуждание. Тот факт, что это случайное блуждание является повторяющимся, означает, что каждый сайт переключается бесконечно часто.

Свойство 3 указывает на то, что пороговая модель избирателя сильно отличается от линейной модели избирателя в том смысле, что сосуществование происходит даже в одном измерении, при условии, что район не слишком мал. Пороговая модель имеет дрейф в сторону «местного меньшинства», которого нет в линейном случае.

Большинство доказательств сосуществования пороговых моделей избирателей основаны на сравнении с гибридной моделью, известной как пороговый контактный процесс с параметром ${\displaystyle \scriptstyle \lambda >0}$. Это процесс на ${\displaystyle \scriptstyle [0,1]^{Z^{d}}}$ со ставками флипов:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}}|\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\}|\geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Предложение 3.3.

Для любого ${\displaystyle \scriptstyle d,{\mathcal {N}}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T}$, если пороговый контактный процесс с ${\displaystyle \scriptstyle \lambda =1}$ имеет нетривиальную инвариантную меру, то пороговая модель избирателя сосуществует.

Модель с порогом Т = 1

Дело, что ${\displaystyle \scriptstyle T=1}$ представляет особый интерес, потому что это единственный случай, когда мы в настоящее время точно знаем, какие модели сосуществуют, а какие кластеры.

В частности, нас интересует своего рода Порог T = 1 модель с ${\displaystyle \scriptstyle c(x,\eta )}$ что определяется:

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad |x-y|\leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \scriptstyle N}$ можно интерпретировать как радиус района ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$; ${\displaystyle \scriptstyle N}$ определяет размер окрестности (т. е. если ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-2,-1,0,1,2\}}$, тогда ${\displaystyle \scriptstyle N_{1}=2}$; в то время как для ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$соответствующие ${\displaystyle \scriptstyle N_{2}=1}$).

К Теорема 3.2., модель с ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$ кластеры. Следующая теорема показывает, что для всех других вариантов выбора ${\displaystyle \scriptstyle d}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$, модель сосуществует.

Теорема 3.4.

Предположим, что ${\displaystyle \scriptstyle N\geq 1}$, но ${\displaystyle \scriptstyle (N,d)\neq (1,1)}$. Тогда пороговая модель на ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ с параметром ${\displaystyle \scriptstyle N}$ сосуществует.

Доказательство этой теоремы дается в статье Томаса М. Лиггетта «Сосуществование в пороговых моделях избирателей».

Смотрите также

• Вероятностные клеточные автоматы
• последовательная динамическая система
• контактный процесс

Примечания

1. Холли, Ричард А .; Лиггетт, Томас М. (1975). «Эргодические теоремы для слабовзаимодействующих бесконечных систем и модель избирателя». Анналы вероятности. 3 (4): 643–663. Дои:10.1214 / aop / 1176996306. ISSN  0091-1798.

Рекомендации

• Клиффорд, Питер; Эйдан В. Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика. 60: 581–588. Дои:10.1093 / biomet / 60.3.581.
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем». Анналы вероятности. Институт математической статистики. 25 (1): 1–29. Дои:10.1214 / aop / 1024404276. ISSN  0091-1798.
• Лиггетт, Томас М. (1994). «Сосуществование в пороговых моделях избирателей». Анналы вероятности. 22 (2): 764–802. Дои:10.1214 / aop / 1176988729.
• Кокс, Дж. Теодор; Дэвид Гриффит (1983). «Теоремы об ограничении времени занятий для модели избирателя». Анналы вероятности. 11 (4): 876–893. Дои:10.1214 / aop / 1176993438.
• Дарретт, Ричард; Кестен, Гарри (1991). Случайные блуждания, броуновское движение и системы взаимодействующих частиц. ISBN  0817635092.
• Лиггетт, Томас М. (1985). Системы взаимодействующих частиц. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-96069-4.
• Томас М. Лиггетт, "Стохастические взаимодействующие системы: процессы контакта, голосования и исключения", Springer-Verlag, 1999.