Нестабильность Вейбеля - Weibel instability

В Нестабильность Вейбеля это неустойчивость плазмы присутствует в однородном или почти однородном электромагнитном плазма обладающие анизотропией в импульсном (скоростном) пространстве. Под этой анизотропией обычно понимают две температуры в разных направлениях. Бертон Фрид показал, что эту неустойчивость проще понять как суперпозицию множества встречных лучей. В этом смысле это похоже на двухпотоковую неустойчивость, за исключением того, что возмущения являются электромагнитными и приводят к филаментации, а не к электростатическим возмущениям, которые могут привести к группировке зарядов. В линейном пределе неустойчивость вызывает экспоненциальный рост электромагнитных полей в плазме, которые помогают восстановить изотропию импульсного пространства. В очень крайних случаях неустойчивость Вейбеля связана с одно- или двумерной нестабильность потока.

Рассмотрим электронно-ионную плазму, в которой ионы зафиксированы, а электроны более горячие в направлении y, чем в направлении x или z.

Чтобы увидеть, как будет расти возмущение магнитного поля, предположим, что поле B = B cos kx спонтанно возникает из-за шума. В Сила Лоренца затем изгибает электронные траектории, в результате чего движущиеся вверх электроны-ev x B собираются в точке B, а движущиеся вниз - в точке A. Результирующие токи j = -en ve листов создают магнитное поле, которое усиливает исходное поле и, таким образом, возмущение растет.

Неустойчивость Вейбеля также обычна в астрофизической плазме, например, образование бесстолкновительной ударной волны в остатках сверхновой и ${displaystyle gamma }$-лучевые всплески.

Простой пример неустойчивости Вейбеля

В качестве простого примера неустойчивости Вейбеля рассмотрим пучок электронов с плотностью ${displaystyle n_{b0}}$ и начальная скорость ${displaystyle v_{0}mathbf {z} }$ распространяется в плазме плотности ${displaystyle n_{p0}=n_{b0}}$ со скоростью ${displaystyle -v_{0}mathbf {z} }$. Приведенный ниже анализ покажет, как электромагнитное возмущение в виде плоской волны вызывает неустойчивость Вейбеля в этой простой анизотропной плазменной системе. Мы предполагаем для простоты нерелятивистскую плазму.

Мы предполагаем отсутствие фонового электрического или магнитного поля, т.е. ${displaystyle mathbf {B_{0}} =mathbf {E_{0}} =0}$. Возмущение примем за электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль ${displaystyle mathbf {hat {x}} }$ т.е. ${displaystyle mathbf {k} =kmathbf {hat {x}} }$. Предположим, что электрическое поле имеет вид

${displaystyle mathbf {E_{1}} =Ae^{i(kx-omega t)}mathbf {z} }$

Принимая во внимание пространственную и временную зависимость, мы можем использовать ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}ightarrow -iomega }$ и ${displaystyle abla ightarrow ikmathbf {hat {x}} }$. Из закона Фарадея можно получить возмущающее магнитное поле

${displaystyle abla imes mathbf {E_{1}} =-{frac {partial mathbf {B_{1}} }{partial t}}Rightarrow imathbf {k} imes mathbf {E_{1}} =iomega mathbf {B_{1}} Rightarrow mathbf {B_{1}} =mathbf {hat {y}} {frac {k}{omega }}E_{1}}$

Рассмотрим электронный луч. Предполагая малые возмущения, мы линеаризуем скорость ${displaystyle mathbf {v_{b}} =mathbf {v_{b0}} +mathbf {v_{b1}} }$ и плотность ${displaystyle n_{b}=n_{b0}+n_{b1}}$. Цель - найти плотность тока возмущающего электронного пучка

${displaystyle mathbf {J_{b1}} =-en_{b}mathbf {v_{b}} =-en_{b0}mathbf {v_{b1}} -en_{b1}mathbf {v_{b0}} }$

где члены второго порядка не учитывались. Для этого мы начнем с уравнения движения жидкости для электронного пучка

${displaystyle m({frac {partial mathbf {v_{b}} }{partial t}}+(mathbf {v_{b}} cdot abla )mathbf {v_{b}} )=-emathbf {E} -emathbf {v_{b}} imes mathbf {B} }$

который можно упростить, отметив, что ${displaystyle {frac {partial mathbf {v_{b0}} }{partial t}}=abla cdot mathbf {v_{b0}} =0}$ и пренебрегая условиями второго порядка. В предположении плоской волны для производных уравнение импульса принимает вид

${displaystyle -iomega mmathbf {v_{b1}} =-emathbf {E_{1}} -emathbf {v_{b0}} imes mathbf {B_{1}} }$

Мы можем разложить приведенные выше уравнения на компоненты, обращая внимание на перекрестное произведение справа, и получить ненулевые компоненты возмущения скорости луча:

${displaystyle v_{b1z}={frac {eE_{1}}{miomega }}}$

${displaystyle v_{b1x}={frac {eE_{1}}{miomega }}{frac {kv_{b0}}{omega }}}$

Чтобы найти плотность возмущения ${displaystyle n_{b1}}$, воспользуемся уравнением неразрывности жидкости для электронного пучка

${displaystyle {frac {partial n_{b}}{partial t}}+abla cdot (n_{b}mathbf {v_{b}} )=0}$

который снова можно упростить, отметив, что ${displaystyle {frac {partial n_{b0}}{partial t}}=abla n_{b0}=0}$ и пренебрегая условиями второго порядка. Результат

${displaystyle n_{b1}=n_{b0}{frac {k}{omega }}v_{b1x}}$

Используя эти результаты, мы можем использовать уравнение для плотности тока возмущения пучка, приведенное выше, чтобы найти

${displaystyle J_{b1x}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{frac {kv_{b0}}{imomega ^{2}}}}$

${displaystyle J_{b1z}=-n_{b0}e^{2}E_{1}{frac {1}{imomega }}(1+{frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{omega ^{2}}})}$

Аналогичные выражения можно записать для плотности тока возмущения леводвижущейся плазмы. Отметив, что x-компонента плотности тока возмущения пропорциональна ${displaystyle v_{0}}$, мы видим, что с нашими допущениями для невозмущенных плотностей и скоростей пучка и плазмы x-компонента чистой плотности тока будет равна нулю, тогда как z-компоненты, которые пропорциональны ${displaystyle v_{0}^{2}}$, добавлю. Таким образом, чистое возмущение плотности тока равно

${displaystyle mathbf {J_{1}} =-2n_{b0}e^{2}E_{1}{frac {1}{imomega }}(1+{frac {k^{2}v_{b0}^{2}}{omega ^{2}}})mathbf {hat {z}} }$

Теперь дисперсионное соотношение можно найти из уравнений Максвелла:

${displaystyle abla imes mathbf {E_{1}} =iomega mathbf {B_{1}} }$

${displaystyle abla imes mathbf {B_{1}} =mu _{0}mathbf {J_{1}} -iomega epsilon _{0}mu _{0}mathbf {E_{1}} }$

${displaystyle Rightarrow abla imes abla imes mathbf {E_{1}} =-abla ^{2}mathbf {E_{1}} +abla (abla cdot mathbf {E_{1}} )=k^{2}mathbf {E_{1}} +imathbf {k} (imathbf {k} cdot mathbf {E_{1}} )=k^{2}mathbf {E_{1}} =iomega abla imes mathbf {B_{1}} ={frac {iomega }{c^{2}epsilon _{0}}}mathbf {J_{1}} +{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}mathbf {E_{1}} }$

куда ${displaystyle c={frac {1}{sqrt {epsilon _{0}mu _{0}}}}}$ это скорость света в свободном пространстве. Определив эффективную плазменную частоту ${displaystyle omega _{p}^{2}={frac {2n_{b0}e^{2}}{epsilon _{0}m}}}$, приведенное выше уравнение приводит к

${displaystyle k^{2}-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}=-{frac {omega _{p}^{2}}{c^{2}}}(1+{frac {k^{2}v_{0}^{2}}{omega ^{2}}})Rightarrow omega ^{4}-omega ^{2}(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})-omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}=0}$

Это биквадратичное уравнение легко решить и получить дисперсионное соотношение

${displaystyle omega ^{2}={frac {1}{2}}(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}pm {sqrt {(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}})}$

В поисках нестабильности мы ищем ${displaystyle Im(omega )eq 0}$ (${displaystyle k}$ считается действительным). Следовательно, мы должны выбрать дисперсионное соотношение / режим, соответствующий знаку минус в приведенном выше уравнении.

Чтобы получить более полное представление о нестабильности, полезно использовать наше нерелятивистское предположение. ${displaystyle v_{0}<<c}$ чтобы упростить выражение квадратного корня, отметив, что

${displaystyle {sqrt {(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}+4omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}}=(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{frac {4omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})^{1/2}approx (omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})(1+{frac {2omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{2}}})}$

Получающееся в результате дисперсионное соотношение намного проще

${displaystyle omega ^{2}={frac {-omega _{p}^{2}k^{2}v_{0}^{2}}{omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2}}}<0}$

${displaystyle omega }$ чисто мнимое. Письмо ${displaystyle omega =igamma }$

${displaystyle gamma ={frac {omega _{p}kv_{0}}{(omega _{p}^{2}+k^{2}c^{2})^{1/2}}}=omega _{p}{frac {v_{0}}{c}}{frac {1}{(1+{frac {omega _{p}^{2}}{k^{2}c^{2}}})^{1/2}}}}$

Мы видим, что ${displaystyle Im(omega )>0}$, что действительно соответствует нестабильности.

Электромагнитные поля тогда имеют вид

${displaystyle mathbf {E_{1}} =Amathbf {hat {z}} e^{gamma t}e^{ikx}}$

${displaystyle mathbf {B_{1}} =mathbf {hat {y}} {frac {k}{omega }}E_{1}=mathbf {hat {y}} {frac {k}{igamma }}Ae^{gamma t}e^{ikx}}$

Следовательно, электрическое и магнитное поля равны ${displaystyle 90^{o}}$ не в фазе, и отметив, что

${displaystyle {frac {|B_{1}|}{|E_{1}|}}={frac {k}{gamma }}propto {frac {c}{v_{0}}}>>1}$

Итак, мы видим, что это главным образом магнитное возмущение, хотя электрическое возмущение ненулевое. Рост магнитного поля приводит к характерной филаментационной структуре неустойчивости Вейбеля. Насыщение произойдет, когда скорость роста ${displaystyle gamma }$ порядка электронной циклотронной частоты

${displaystyle gamma sim omega _{p}{frac {v_{0}}{c}}sim omega _{c}Rightarrow Bsim {frac {m}{e}}omega _{p}{frac {v_{0}}{c}}}$

Рекомендации

• Вейбель, Эрих С. ​​(1959-02-01). «Спонтанно растущие поперечные волны в плазме из-за анизотропного распределения скоростей». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 2 (3): 83–84. Дои:10.1103 / Physrevlett.2.83. ISSN  0031-9007.
• Фрид, Бертон Д. (1959). «Механизм неустойчивости поперечных плазменных волн». Физика жидкостей. Издательство AIP. 2 (3): 337. Дои:10.1063/1.1705933. ISSN  0031-9171.
• Лекция [1]

Смотрите также

• Хромо-Вейбелевская нестабильность