Теорема Винера – Леви - Wiener–Lévy theorem

Теорема Винера – Леви это теорема в Анализ Фурье, который утверждает, что функция абсолютно сходящегося ряда Фурье при некоторых условиях имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Теорема была названа в честь Норберт Винер и Поль Леви.

Норберт Винер впервые доказано Винера 1 /ж теорема^[1] видеть Теорема Винера. В нем говорится, что если ж имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то его обратный 1/ж также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Теорема Винера – Леви

Пол Леви обобщенный результат Винера,^[2] показывая это

Позволять ${\displaystyle F(\theta )=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },\quad \theta \in [0,2\pi ]}$ - абсолютно сходящийся ряд Фурье с

${\displaystyle \|F\|=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }|c_{k}|<\infty .}$

Ценности ${\displaystyle F(\theta )}$ лежать на кривой ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle H(t)}$ является аналитической (не обязательно однозначной) функцией комплексной переменной, регулярной в каждой точке ${\displaystyle C}$. потом ${\displaystyle H[F(\theta )]}$ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Доказательство можно найти в классической книге Зигмунда. Тригонометрический ряд.^[3]

Пример

Позволять ${\displaystyle H(\theta )=\ln(\theta )}$ и ${\displaystyle F(\theta )=\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}e^{ik\theta },(\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}=1}$) является характеристическая функция дискретного распределения вероятностей. Так ${\displaystyle F(\theta )}$ является абсолютно сходящимся рядом Фурье. Если ${\displaystyle F(\theta )}$ не имеет нулей, то имеем

${\displaystyle H[F(\theta )]=\ln \left(\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}e^{ik\theta }\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}e^{ik\theta },}$

куда ${\displaystyle \|H\|=\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|<\infty .}$

Статистическое применение этого примера можно найти в дискретных псевдо составное распределение Пуассона^[4] и модель без наддува.

Если дискретная с.в. ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle \Pr(X=i)=P_{i}}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, имеет производящую функцию вероятности вида

${\displaystyle P(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P_{i}z^{i}=\exp \left\{\sum \limits _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\lambda (z^{i}-1)\right\},z=e^{ik\theta }}$

куда ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$, ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\alpha _{i}\right|<\infty }$, ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$, и ${\displaystyle \lambda >0}$. потом ${\displaystyle X}$ имеет дискретное псевдосоставное распределение Пуассона, сокращенно DPCP.

Обозначим его как ${\displaystyle X\sim DPCP({\alpha _{1}}\lambda ,{\alpha _{2}}\lambda ,\cdots )}$.

Смотрите также

• Теорема Винера (значения)

Рекомендации

1. Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Анналы математики. 33 (1): 1–100. Дои:10.2307/1968102. JSTOR  1968102.
2. Леви, П. (1935). "Sur la Convergence Absolue des Séries de Fourier". Compositio Mathematica. 1: 1–14.
3. Зигмунд, А. (2002). Тригонометрический ряд. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 245.
4. Хуэйминь, Чжан; Ли, Бо; Дж. Джей Кернс (2017). «Характеристика дискретных безгранично делимых распределений со знаком». Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. 54: 446–470. arXiv:1701.03892. Дои:10.1556/012.2017.54.4.1377.