Модель без наддува - Zero-inflated model

В статистика, а модель без наддува это статистическая модель на основе нулевого надувания распределение вероятностей, то есть распределение, допускающее частые наблюдения с нулевым значением.

Пуассон с нулевым надуванием

Одна хорошо известная модель с нулевой завышенностью: Дайан Ламберт Модель Пуассона с нулевым раздутием, которая касается случайного события, содержащего избыточные данные нулевого счета в единицу времени.^[1] Например, количество страховые выплаты в популяции для определенного типа риска будет нулевое раздувание теми людьми, которые не застраховались от риска и, следовательно, не могут требовать. Модель Пуассона с нулевым надуванием (ZIP) смешивает два процесса генерации нуля. Первый процесс генерирует нули. Второй процесс регулируется распределение Пуассона который генерирует счетчики, некоторые из которых могут быть нулевыми. Смесь описывается следующим образом:

${\displaystyle \Pr(Y=0)=\pi +(1-\pi )e^{-\lambda }}$

${\displaystyle \Pr(Y=y_{i})=(1-\pi ){\frac {\lambda ^{y_{i}}e^{-\lambda }}{y_{i}!}},\qquad y_{i}=1,2,3,...}$

где переменная результата ${\displaystyle y_{j}}$ имеет любое неотрицательное целочисленное значение, ${\displaystyle \lambda }$ ожидаемое число Пуассона для ${\displaystyle i}$й человек; ${\displaystyle \pi }$ вероятность появления лишних нулей.

Среднее значение ${\displaystyle (1-\pi )\lambda }$ и дисперсия ${\displaystyle \lambda (1-\pi )(1+\pi \lambda )}$.

Оценщики параметров ZIP

Метод оценки моментов представлен в виде^[2]

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{mo}={\frac {s^{2}+m^{2}}{m}}-1,}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}_{mo}={\frac {s^{2}-m}{s^{2}+m^{2}-m}},}$

куда ${\displaystyle m}$ выборочное среднее и ${\displaystyle s^{2}}$ - выборочная дисперсия.

Оценщик максимального правдоподобия^[3] можно найти, решив следующее уравнение

${\displaystyle m(1-e^{-{\hat {\lambda }}_{ml}})={\hat {\lambda }}_{ml}\left(1-{\frac {n_{0}}{n}}\right).}$

куда ${\displaystyle {\frac {n_{0}}{n}}}$ - наблюдаемая доля нулей.

Решение этого уравнения в замкнутой форме имеет вид^[4]

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ml}=W_{0}(-se^{-s})+s}$

с ${\displaystyle W_{0}}$ основная ветвь W-функции Ламберта^[5] и

${\displaystyle s={\frac {m}{1-{\frac {n_{0}}{n}}}}}$.

В качестве альтернативы уравнение можно решить путем итерации^[6].

Оценка максимального правдоподобия для ${\displaystyle \pi }$ дан кем-то

${\displaystyle {\hat {\pi }}_{ml}=1-{\frac {m}{{\hat {\lambda }}_{ml}}}.}$

Связанные модели

1994, Грин считал нулевой надутой отрицательный бином (ЗИНБ) модель.^[7] Дэниел Б. Холл адаптировал методологию Ламберта к ситуации с ограниченным сверху счетом, получив таким образом биномиальную модель с нулевым надуванием (ZIB).^[8]

Дискретная псевдосоставная модель Пуассона

Если данные подсчета ${\displaystyle Y}$ такова, что вероятность нуля больше, чем вероятность ненулевой, а именно

${\displaystyle \Pr(Y=0)>0.5}$

тогда дискретные данные ${\displaystyle Y}$ подчиняться дискретному псевдо составное распределение Пуассона.^[9]

На самом деле пусть ${\displaystyle G(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}}$ быть функция, производящая вероятность из ${\displaystyle y_{i}}$. Если ${\displaystyle p_{0}=\Pr(Y=0)>0.5}$, тогда ${\displaystyle |G(z)|\geqslant p_{0}-\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=2p_{0}-1>0}$. Затем из Теорема Винера – Леви,^[10] ${\displaystyle G(z)}$ имеет функция, производящая вероятность дискретного псевдо составное распределение Пуассона.

Мы говорим, что дискретная случайная величина ${\displaystyle Y}$ удовлетворение функция, производящая вероятность характеристика

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)}$

имеет дискретный псевдо составное распределение Пуассона с параметрами

${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}=1,\sum \limits _{k=1}^{\infty }|\alpha _{k}|<\infty ,\alpha _{k}\in \mathbb {R} ,\lambda >0\right).}$

Когда все ${\displaystyle \alpha _{k}}$ неотрицательны, это дискретный составное распределение Пуассона (непуассоновский случай) с чрезмерная дисперсия свойство.

Смотрите также

• распределение Пуассона
• Распределение Пуассона с нулевым усечением
• Составное распределение Пуассона
• Разреженное приближение
• Модель препятствий

Программного обеспечения

• pscl и brms Пакеты R

Рекомендации

1. Ламберт, Дайан (1992). «Нулевая регрессия Пуассона с приложением к дефектам в производстве». Технометрика. 34 (1): 1–14. Дои:10.2307/1269547. JSTOR  1269547.
2. Беккет, Сэди; Джи, Джошуа; Нкубе, Тхалепо; Вашингтон, Квинтел; Сингх, Аншуман; Пал, Набенду (2014). «Нулевое распределение Пуассона (ZIP): оценка параметров и приложения для моделирования данных о стихийных бедствиях». Вовлекать. 7 (6): 751–767. Дои:10.2140 / вовлекать.2014.7.751.
3. Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Кемп, Эдриенн В. (1992). Одномерные дискретные распределения (2-е изд.). Вайли. С. 312–314. ISBN  978-0-471-54897-3.
4. Денкс, Стефани; Пипенброк, Марион; Шмитц, Георг (2020). "Оценка реконструкции сосуда в ультразвуковой локализационной микроскопии с помощью оценки максимального правдоподобия модели Пуассона с нулевым надуванием". Транзакции IEEE по ультразвуку, сегнетоэлектрикам и контролю частоты. Дои:10.1109 / TUFFC.2020.2980063.
5. Corless, R.M .; Gonnet, G.H .; Hare, D. E. G .; Джеффри, Д. Дж .; Кнут, Д. Э. (1996). «О W-функции Ламберта». Достижения в вычислительной математике. 5 (1): 329–359. Дои:10.1007 / BF02124750.
6. Бёнинг, Данкмар; Дитц, Эккехарт; Шлаттманн, Питер; Мендонка, Лизетта; Киршнер, Урсула (1999). «Модель Пуассона с нулевым раздутием и индекс разрушенных, отсутствующих и запломбированных зубов в стоматологической эпидемиологии». Журнал Королевского статистического общества, серия A. 162 (2): 195–209. Дои:10.1111 / 1467-985x.00130.
7. Грин, Уильям Х. (1994). "Учет лишних нулей и выборка в моделях Пуассона и отрицательной биномиальной регрессии". Рабочий документ EC-94-10: Департамент экономики Нью-Йоркского университета. SSRN  1293115.
8. Холл, Дэниел Б. (2000). "Нулевой Пуассон и биномиальная регрессия со случайными эффектами: тематическое исследование". Биометрия. 56 (4): 1030–1039. Дои:10.1111 / j.0006-341X.2000.01030.x.
9. Хуэйминь, Чжан; Юньсяо Лю; Бо Ли (2014). «Заметки о дискретной составной модели Пуассона с приложениями к теории риска». Страхование: математика и экономика. 59: 325–336. Дои:10.1016 / j.insmatheco.2014.09.012.
10. Зигмунд, А. (2002). Тригонометрический ряд. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 245.