Винера серия - Wiener series

В математике Винера серия, или же Винеровское расширение G-функции, происходит из книги 1958 г. Норберт Винер. Это ортогональное разложение для нелинейных функционалы тесно связан с Вольтерра серия и имеющий то же отношение к нему, что и ортогональный Многочлен Эрмита расширение должно степенной ряд. По этой причине он также известен как Расширение Винера – Эрмита. Аналог коэффициентов будем называть Винеровские ядра. Члены ряда ортогональны (некоррелированы) относительно статистического ввода белый шум. Это свойство позволяет определять термины в приложениях Метод Ли – Шетцена.

Серия Винера важна в идентификация нелинейных систем. В этом контексте ряд аппроксимирует функциональную связь вывода со всей историей ввода системы в любое время. Серия Винера применялась в основном для идентификации биологических систем, особенно в нейробиология.

Название серии Wiener используется почти исключительно в теория систем. В математической литературе оно встречается как разложение Ито (1951), которое имеет другую форму, но полностью ему эквивалентно.

Серию Винера не следует путать с Винеровский фильтр, это еще один алгоритм, разработанный Норбертом Винером, используемый при обработке сигналов.

Винеровские G-функциональные выражения

Для данной системы с парой ввода / вывода ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ где вход представляет собой белый шум с нулевым средним значением и мощностью A, мы можем записать выход системы как сумму ряда винеровских G-функционалов${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

Ниже будут приведены выражения G-функционалов до пятого порядка:

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Вольтерра серия
• Идентификация системы
• Среднее значение, вызванное скачком

Рекомендации

• Винер, Норберт (1958). Нелинейные задачи теории случайностей.. Wiley and MIT Press.
• Ли и Шетцен; Schetzen ‡, M. (1965). «Измерение винеровских ядер нелинейной системы путем взаимной корреляции». Международный журнал контроля. Первый. 2 (3): 237–254. Дои:10.1080/00207176508905543.
• Ито К. «Кратный интеграл Винера» J. Math. Soc. Япония 3 1951 157–169
• Marmarelis, P.Z .; Нака, К. (1972). «Анализ белого шума нейронной цепи: применение теории Винера». Наука. 175 (4027): 1276–1278. Дои:10.1126 / science.175.4027.1276. PMID  5061252.
• Schetzen, Мартин (1980). Теории Вольтерра и Винера нелинейных систем. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-04455-0.
• Мармарелис, П.З. (1991). "Винеровский анализ нелинейной обратной связи". Сенсорные системы Анналы биомедицинской инженерии. 19 (4): 345–382. Дои:10.1007 / BF02584316.
• Franz, M; Шёлкопф, Б. (2006). «Объединяющий взгляд на теорию Винера и Вольтерра и регрессию полиномиального ядра». Нейронные вычисления. 18 (12): 3097–3118. Дои:10.1162 / neco.2006.18.12.3097.