Дзета-функция Виттена - Witten zeta function

В математика, то Дзета-функция Виттена, является функцией, связанной с корневая система который кодирует степени неприводимые представления соответствующих Группа Ли. Эти дзета-функции были введены Доном Загиром, который назвал их в честь исследования Эдварда Виттена их особых значений (среди прочего) в.^[1][2] Обратите внимание, что дзета-функции Виттена не появляются как явные объекты сами по себе в.^[2]

Определение

Если ${\displaystyle G}$ компактная полупростая группа Ли, ассоциированная дзета-функция Виттена является (мероморфным продолжением) ряда

${\displaystyle \zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}},}$

где сумма берется по классам эквивалентности неприводимых представлений ${\displaystyle G}$.

В случае, когда ${\displaystyle G}$ связно и односвязно, соответствие между представлениями ${\displaystyle G}$ и ее алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля следует, что ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ можно записать как

${\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}$

где ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ обозначает множество положительных корней, ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ представляет собой набор простых корней и ${\displaystyle r}$ это звание.

Примеры

• ${\displaystyle \zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)}$, дзета-функция Римана.
• ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.}$

Абсцисса схождения

Если ${\displaystyle G}$ проста и односвязна, абсцисса сходимости ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ является ${\displaystyle r/\kappa }$, где ${\displaystyle r}$ это звание и ${\displaystyle \kappa =|\Phi ^{+}|}$. Эта теорема принадлежит Алексу Любоцки и Майклу Ларсену.^[3] Новое доказательство дают Йокке Хяся и Александр Стасинский в.^[4] Доказательство в ^[4] дает более общий результат, а именно дает явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсцисс сходимости любой "дзета-функции Меллина" вида

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},}$

где ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r})}$ является произведением линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами.

использованная литература

1. Загир, Дон (1994), "Значения дзета-функций и их приложения", Первый Европейский математический конгресс, Париж, 6–10 июля 1992 г., Birkhäuser Basel, стр. 497–512, Дои:10.1007/978-3-0348-9112-7_23, ISBN  9783034899123
2. Виттен, Эдвард (октябрь 1991). «О квантовых калибровочных теориях в двух измерениях». Коммуникации по математической физике. 141 (1): 153–209. Дои:10.1007 / bf02100009. ISSN  0010-3616.
3. Ларсен, Майкл; Любоцкий, Александр (30.06.2008). «Представительный рост линейных групп». Журнал Европейского математического общества. 10 (2): 351–390. arXiv:математика / 0607369. Дои:10.4171 / JEMS / 113. ISSN  1435-9855.
4. Хаса, Йокке; Стасинский, Александр (2017). «Представительный рост компактных линейных групп». arXiv:1710.09112 [math.RT ].