Γ-пространство - Γ-space

В математике ${\displaystyle \gamma }$-Космос это топологическое пространство что удовлетворяет определенный базовый принцип выбора. Бесконечное покрытие топологического пространства - это ${\displaystyle \omega }$-покрытие, если каждое конечное подмножество этого пространства содержится в каком-либо члене покрытия, а все пространство не является членом покрытия. Покрытие топологического пространства - это ${\displaystyle \gamma }$-покрытие, если каждая точка этого пространства принадлежит всем, кроме конечного числа членов этого покрытия. ${\displaystyle \gamma }$-Космос это пространство, в котором для каждого открытого ${\displaystyle \omega }$-обложка содержит ${\displaystyle \gamma }$-крышка.

История

Герлиц и Надь ввели понятие γ-пространств.^[1] Они перечислили некоторые топологические свойства и пронумеровали их греческими буквами. Указанное выше свойство было третьим в этом списке, поэтому оно называется γ-свойством.

Характеристики

Комбинаторная характеристика

Позволять ${\displaystyle [\mathbb {N} ]^{\infty }}$ - множество всех бесконечных подмножеств множества натуральных чисел. Множество ${\displaystyle A\subset [\mathbb {N} ]^{\infty }}$центрировано, если пересечение конечного числа элементов ${\displaystyle A}$ бесконечно. Каждый набор ${\displaystyle a\in [\mathbb {N} ]^{\infty }}$мы отождествляемся с его увеличивающимся перечислением, и, таким образом, множество ${\displaystyle a}$ мы можем рассматривать как член Пространство Бэра ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$. Следовательно, ${\displaystyle [\mathbb {N} ]^{\infty }}$является топологическим пространством как подпространство пространства Бэра ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$. А нульмерный отделяемый метрическое пространство является γ-пространством тогда и только тогда, когда каждый непрерывный образ этого пространства в пространство ${\displaystyle [\mathbb {N} ]^{\infty }}$который центрирован имеет псевдо-пересечение.^[2]

Топологическая характеристика игры

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическим пространством. В ${\displaystyle \gamma }$-имеет псевдопересечение, если на ${\displaystyle X}$ это игра с двумя игроками Алисой и Бобом.

1 тур: Алиса выбирает открытый ${\displaystyle \omega }$-крышка ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$ из ${\displaystyle X}$. Боб выбирает набор ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1}}$.

2-й тур: Алиса выбирает открытый ${\displaystyle \omega }$-крышка ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$ из ${\displaystyle X}$. Боб выбирает набор ${\displaystyle U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2}}$.

и т.п.

Если ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ это ${\displaystyle \gamma }$-покрытие пространства ${\displaystyle X}$, то Боб выигрывает игру. В противном случае выигрывает Алиса.

У игрока есть выигрышная стратегия, если он знает, как играть, чтобы выиграть игру (формально выигрышная стратегия - это функция).

Топологическое пространство - это ${\displaystyle \gamma }$-пространство, если у Алисы нет выигрышной стратегии в ${\displaystyle \gamma }$-игра на этом месте.^[1]

Характеристики

• А топологическое пространство является γ-пространством тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\Omega ,\Gamma )}$ принцип выбора.^[1]
• Каждые Линделёф пространство мощности меньше, чем псевдо-пересечение номер ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ это ${\displaystyle \gamma }$-Космос.
• Каждые ${\displaystyle \gamma }$-пространство - это Пространство Ротбергера,^[3] и таким образом ноль сильной меры.

• Позволять ${\displaystyle X}$ быть Тихоновское пространство, и ${\displaystyle C(X)}$ - пространство непрерывных функций ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ с поточечная сходимость топология. Космос ${\displaystyle X}$ это ${\displaystyle \gamma }$-пространство тогда и только тогда, когда ${\displaystyle C(X)}$ является Фреше – Урысон если и только если ${\displaystyle C(X)}$ является сильный Фреше – Урысон.^[1]
• Позволять ${\displaystyle A}$ быть ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$ подмножество реальной линии, и ${\displaystyle M}$ быть скудный подмножество реальной линии. Тогда набор ${\displaystyle A+M=\{a+x:a\in A,x\in M\}}$ скудный.^[4]

Рекомендации

1. Герлитс, Дж .; Надя, З. (1982). "Некоторые свойства ${\displaystyle C(X)}$, Я ". Топология и ее приложения. 14 (2): 151–161. Дои:10.1016/0166-8641(82)90065-7.
2. Recław, Ireneusz (1994). «Каждый набор Лусина не определен в игре по открытию точки». Fundamenta Mathematicae. 144: 43–54. Дои:10.4064 / FM-144-1-43-54.
3. Шиперс, Мэрион (1996). «Комбинаторика открытых покрытий I: теория Рамсея». Топология и ее приложения. 69: 31–62. Дои:10.1016/0166-8641(95)00067-4.
4. Гэлвин, Фред; Миллер, Арнольд (1984). "${\displaystyle \gamma }$-множества и другие особые множества действительных чисел ». Топология и ее приложения. 17 (2): 145–155. Дои:10.1016/0166-8641(84)90038-5.