Пространство Ротбергера - Rothberger space - Wikipedia

В математике Пространство Ротбергера это топологическое пространство что удовлетворяет определенный базовый принцип выбора. Пространство Ротбергера - это пространство, в котором для каждой последовательности открытых покрытий ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ пространства есть наборы ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ такая, что семья ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ покрывает пространство.

История

В 1938 году Фриц Ротбергер представил свою собственность, известную как ${\displaystyle C''}$.^[1]

Характеристики

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств вещественной прямой свойство Ротбергера можно охарактеризовать с помощью непрерывных функций в Пространство Бэра ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$. Подмножество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ можно угадать, если есть функция ${\displaystyle g\in A}$ такие, что множества ${\displaystyle \{n:f(n)=g(n)\}}$ бесконечны для всех функций ${\displaystyle f\in A}$. Подмножество реальной линии является Ротбергером тогда и только тогда, когда каждое непрерывное изображение этого пространства в пространстве Бэра можно угадать. В частности, каждое подмножество действительной линии мощности меньше, чем ${\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {M}})}$^[2] Ротбергер.

Топологическая характеристика игры

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическим пространством. Игра Ротбергера ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ играл на ${\displaystyle X}$ это игра с двумя игроками Алисой и Бобом.

1-й тур: Алиса выбирает открытую обложку ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$ из ${\displaystyle X}$. Боб выбирает набор ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1}}$.

2-й тур: Алиса выбирает открытую обложку ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$ из ${\displaystyle X}$. Боб выбирает конечное множество ${\displaystyle U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2}}$.

и Т. Д.

Если семья ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ это прикрытие пространства ${\displaystyle X}$, тогда Боб выигрывает игру ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$. В противном случае выигрывает Алиса.

У игрока есть выигрышная стратегия, если он знает, как играть, чтобы выиграть игру. ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ (формально выигрышная стратегия - это функция).

• Топологическое пространство называется Ротбергером, если у Алисы нет выигрышной стратегии в игре. ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ играл на этом пространстве.^[3]
• Позволять ${\displaystyle X}$ - метрическое пространство. У Боба есть выигрышная стратегия в игре ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ играл в космосе ${\displaystyle X}$ если и только тогда пространство ${\displaystyle X}$ счетно.^[3][4][5]

Характеристики

• Каждое счетное топологическое пространство является Ротбергеровским.
• Каждый Набор Лузина Ротбергер^[1]
• Каждое подмножество Ротбергера реальной линии имеет ноль сильной меры.^[1]
• в Модель Laver для согласованности Гипотеза Бореля каждое подмножество Ротбергера реальной линии счетно

Рекомендации

1. Ротбергер, Фриц (1938-01-01). "Eine Verschärfung der Eigenschaft C". Fundamenta Mathematicae (на немецком). 30 (1). ISSN  0016-2736.
2. Бартошинский, Томек; Иуда, Хаим (1995-08-15). Теория множеств: структура реальной прямой. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  9781568810447.
3. Павликовский, Януш. «Неопределенные множества открытых игр». Fundamenta Mathematicae. 144 (3). ISSN  0016-2736.
4. Шиперс, Мэрион (1995-01-01). «Прямое доказательство теоремы Телгарского». Труды Американского математического общества. 123 (11): 3483–3485. Дои:10.1090 / S0002-9939-1995-1273523-1. ISSN  0002-9939.
5. Телгарский, Растислав (1 июня 1984). «Об играх Топсе». Mathematica Scandinavica. 54: 170–176. Дои:10.7146 / math.scand.a-12050. ISSN  1903-1807.